Determine o(\mathrm{~s}) valor(es) de m para que o conjunto \{(1,2),(3, m)\} seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores do plano: (1,2) e (3,m). A pergunta é: para quais valores de m o conjunto \{(1,2),(3,m)\} é linearmente independente?
Informações relevantes: os vetores são (1,2) e (3,m); m é o parâmetro que devemos determinar.

Passo 2

Vamos lembrar com calma o que significa “linearmente independente” para dois vetores. Dizemos que dois vetores v e w são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
\alpha v + \beta w = 0
implica necessariamente \alpha=0 e \beta=0.
Uma forma mais prática (e equivalente) para dois vetores é: eles são linearmente dependentes se e somente se um é múltiplo escalar do outro; caso contrário, são independentes. Vou usar esse critério porque é o mais direto aqui: basta verificar se existe \lambda tal que (3,m)=\lambda(1,2). Se existir, os vetores são dependentes; se não existir, são independentes.

Passo 3

Assuma que (3,m) seja múltiplo escalar de (1,2). Então existe \lambda tal que
(3,m)=\lambda(1,2).
Isso significa que as componentes correspondentes são iguais, ou seja:
3=\lambda\cdot 1
e
m=\lambda\cdot 2.
Da primeira igualdade obtemos \lambda=3. Substituindo na segunda:
m=\lambda\cdot 2 = 3\cdot 2 = 6.
Portanto, se houver dependência linear, necessariamente m=6.

Passo 4

Concluímos a partir do passo anterior que a única possibilidade de dependência é m=6. Logo, para qualquer m diferente de 6 não existe \lambda que faça (3,m)=\lambda(1,2), e portanto os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Para fixar a ideia, veja dois exemplos rápidos:
  • Se m=6, então (3,6)=3(1,2), ou seja, o segundo vetor é múltiplo do primeiro e o conjunto é linearmente dependente (por exemplo 3(1,2)-1(3,6)=0 é uma combinação não trivial que dá zero).
  • Se m=5, a primeira componente exigiria \lambda=3, mas então a segunda componente teria de ser 6, não 5; assim não existe \lambda e os vetores são independentes.

Passo 6

Como checagem alternativa (opcional): montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. A matriz é
\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & m\end{pmatrix}
e o determinante é
1\cdot m - 2\cdot 3 = m-6.
Se o determinante for diferente de zero então as colunas são independentes, ou seja, m-6\neq 0 dá independência; se m-6=0 dá dependência. Isso confirma o resultado anterior.]

Resposta

m\neq 6

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