Determine
valor(es) de
para que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores do plano:
e
. A pergunta é: para quais valores de
o conjunto
é linearmente independente?
Informações relevantes: os vetores são e
;
é o parâmetro que devemos determinar.
Informações relevantes: os vetores são
Passo 2
Vamos lembrar com calma o que significa “linearmente independente” para dois vetores. Dizemos que dois vetores
e
são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
implica necessariamente
e
.
Uma forma mais prática (e equivalente) para dois vetores é: eles são linearmente dependentes se e somente se um é múltiplo escalar do outro; caso contrário, são independentes. Vou usar esse critério porque é o mais direto aqui: basta verificar se existe tal que
. Se existir, os vetores são dependentes; se não existir, são independentes.
Uma forma mais prática (e equivalente) para dois vetores é: eles são linearmente dependentes se e somente se um é múltiplo escalar do outro; caso contrário, são independentes. Vou usar esse critério porque é o mais direto aqui: basta verificar se existe
Passo 3
Assuma que
seja múltiplo escalar de
. Então existe
tal que
Isso significa que as componentes correspondentes são iguais, ou seja:
e
Da primeira igualdade obtemos
. Substituindo na segunda:
Portanto, se houver dependência linear, necessariamente
.
Passo 4
Concluímos a partir do passo anterior que a única possibilidade de dependência é
. Logo, para qualquer
diferente de
não existe
que faça
, e portanto os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Para fixar a ideia, veja dois exemplos rápidos:
- Se
, então , ou seja, o segundo vetor é múltiplo do primeiro e o conjunto é linearmente dependente (por exemplo é uma combinação não trivial que dá zero). - Se
, a primeira componente exigiria , mas então a segunda componente teria de ser , não ; assim não existe e os vetores são independentes.
Passo 6
Como checagem alternativa (opcional): montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. A matriz é
e o determinante é
Se o determinante for diferente de zero então as colunas são independentes, ou seja,
dá independência; se
dá dependência. Isso confirma o resultado anterior.]