Verifique se o conjunto
é um subespaço vetorial do
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é o conjunto de todos os pares que satisfazem a equação . - O espaço ambiente é
.
O que precisa ser respondido: dizer se
é (ou não é) um subespaço de
e justificar passo a passo.
Passo 2
Definição prática (fórmula que usamos na prova): um subconjunto
de
é subespaço vetorial se e somente se satisfa três propriedades:
-
não é vazio (equivalente a conter o vetor zero). -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Vou verificar essas três propriedades para
. Explico cada passo de forma explícita para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Verificação de que
não é vazio (contém o vetor zero).
O vetor zero em é
. Substituindo na condição de
:
O vetor zero em
Como a igualdade é satisfeita,
. Portanto
contém o vetor zero e não é vazio. (Isso já é um bom sinal de que pode ser subespaço; ainda precisamos das duas fechamentos.)
Passo 4
Fechamento sob soma. Vou pegar dois vetores arbitrários de
e mostrar que a soma também está em
.
Sejam e
. Como estão em
, eles satisfazem
Sejam
e
A soma é
Verifico a condição de
para
:
Pelo que temos acima,
e
, então
Portanto
satisfaz a equação definidora de
, isto é,
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação por escalares. Vou pegar um vetor arbitrário de
e um escalar arbitrário e mostrar que o produto escalar está em
.
Seja e seja
com
. Então
Seja
Verifico a condição de
para
:
Como
, segue que
Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão direta a partir dos passos anteriores:
contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares. Portanto, por definição,
é um subespaço vetorial de
.
Passo extra (intuição e forma alternativa, útil para a prova): a equação
dá
. Então qualquer vetor de
tem a forma
Isto mostra que
, ou seja,
é a reta através da origem gerada pelo vetor
. Uma reta que passa pela origem é sempre subespaço.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
.