Verifique se o conjunto W=\{(x, y): x-2 y=0\} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x-2y=0\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.
Informações dadas:
  • W é o conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem a equação x-2y=0.
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^2.
O que precisa ser respondido: dizer se W é (ou não é) um subespaço de \mathbb{R}^2 e justificar passo a passo.

Passo 2

Definição prática (fórmula que usamos na prova): um subconjunto S de \mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se e somente se satisfa três propriedades:
  1. S não é vazio (equivalente a conter o vetor zero).
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
Vou verificar essas três propriedades para W. Explico cada passo de forma explícita para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Verificação de que W não é vazio (contém o vetor zero).
O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Substituindo na condição de W:
0-2\cdot 0 = 0.
Como a igualdade é satisfeita, (0,0)\in W. Portanto W contém o vetor zero e não é vazio. (Isso já é um bom sinal de que pode ser subespaço; ainda precisamos das duas fechamentos.)

Passo 4

Fechamento sob soma. Vou pegar dois vetores arbitrários de W e mostrar que a soma também está em W.
Sejam u=(x_1,y_1)\in W e v=(x_2,y_2)\in W. Como estão em W, eles satisfazem
x_1-2y_1=0
e
x_2-2y_2=0.
A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Verifico a condição de W para u+v:
(x_1+x_2)-2(y_1+y_2) = (x_1-2y_1) + (x_2-2y_2).
Pelo que temos acima, x_1-2y_1=0 e x_2-2y_2=0, então
(x_1+x_2)-2(y_1+y_2) = 0+0 = 0.
Portanto u+v satisfaz a equação definidora de W, isto é, u+v\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação por escalares. Vou pegar um vetor arbitrário de W e um escalar arbitrário e mostrar que o produto escalar está em W.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e seja u=(x,y)\in W com x-2y=0. Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y).
Verifico a condição de W para \alpha u:
(\alpha x)-2(\alpha y) = \alpha(x-2y).
Como x-2y=0, segue que
\alpha(x-2y)=\alpha\cdot 0 = 0.
Logo \alpha u\in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão direta a partir dos passos anteriores: W contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares. Portanto, por definição, W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.
Passo extra (intuição e forma alternativa, útil para a prova): a equação x-2y=0 x=2y. Então qualquer vetor de W tem a forma
(x,y) = (2y,y) = y(2,1).
Isto mostra que W=\text{span}\{(2,1)\}, ou seja, W é a reta através da origem gerada pelo vetor (2,1). Uma reta que passa pela origem é sempre subespaço.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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