Seja
. O conjunto
de todos os polinômios de grau 2 não é subespaço vetorial de
.
Dê um exemplo para mostrar a afirmação acima.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a
) e define
como o conjunto de todos os polinômios de grau exatamente
. A tarefa é: "Dar um exemplo que mostre que
não é subespaço vetorial de
". Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Preciso produzir um exemplo concreto que mostre a afirmação (isto é, demonstrar que
falha em alguma propriedade necessária para ser subespaço).
Passo 2
Lembrando (explicando passo a passo) o que significa ser subespaço vetorial: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes se verificam:
-
contém o vetor zero de . -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Observação importante e útil para este problema: se um subconjunto não contém o vetor zero, já falha na propriedade 1 e, portanto, não é subespaço. No nosso contexto, o vetor zero é o polinômio nulo, que escreveremos como
(o polinômio identicamente zero).
Passo 3
Explicando o conceito de grau de polinômio de forma simples: para um polinômio
o grau
é o maior expoente com coeficiente diferente de zero. Portanto
se e somente se
. O polinômio nulo
tem todos os coeficientes zero; por convenção o seu grau não é
(alguns textos dizem
ou simplesmente que o grau é indefinido), e em particular
.
Passo 4
Agora o exemplo concreto e a verificação passo a passo. Tome os polinômios
Verificações:
- Para
temos a forma com . Logo e . - Para
temos . Logo e . - Somando, temos
ou seja, a soma é o polinômio nulo
. Mas, como expliquei,
porque não é um polinômio de grau
. Assim
e
.
Portanto
não é fechado sob adição, o que já é suficiente para concluir que
não é subespaço de
. (Como alternativa igualmente simples: multiplicar
por
dá
, mostrando que
não é fechado sob multiplicação por escalar.)
Passo 5
Resumo didático rápido para a prova: para mostrar que um conjunto não é subespaço, basta encontrar um contraexemplo que viole uma das propriedades (zero, soma ou multiplicação por escalar). Aqui o contraexemplo mais direto são
e
: ambos estão em
, mas a soma é
, que não pertence a
. Logo
não é subespaço.