Seja V=P_{2}(\mathbb{R}). O conjunto W de todos os polinômios de grau 2 não é subespaço vetorial de P_{2}(\mathbb{R}).
Dê um exemplo para mostrar a afirmação acima.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = P_{2}(\mathbb{R}) (polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2) e define W como o conjunto de todos os polinômios de grau exatamente 2. A tarefa é: "Dar um exemplo que mostre que W não é subespaço vetorial de P_{2}(\mathbb{R})". Informações relevantes fornecidas:
  • V = P_{2}(\mathbb{R}).
  • W = \{\,p(x)\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid \deg(p)=2\,\}.
  • Preciso produzir um exemplo concreto que mostre a afirmação (isto é, demonstrar que W falha em alguma propriedade necessária para ser subespaço).

Passo 2

Lembrando (explicando passo a passo) o que significa ser subespaço vetorial: um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes se verificam:
  1. S contém o vetor zero de V.
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S então u+v \in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u \in S.
Observação importante e útil para este problema: se um subconjunto não contém o vetor zero, já falha na propriedade 1 e, portanto, não é subespaço. No nosso contexto, o vetor zero é o polinômio nulo, que escreveremos como 0 (o polinômio identicamente zero).

Passo 3

Explicando o conceito de grau de polinômio de forma simples: para um polinômio
p(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0,
o grau \deg(p) é o maior expoente com coeficiente diferente de zero. Portanto \deg(p)=2 se e somente se a_2\neq 0. O polinômio nulo 0 tem todos os coeficientes zero; por convenção o seu grau não é 2 (alguns textos dizem \deg(0)=-\infty ou simplesmente que o grau é indefinido), e em particular 0\notin W.

Passo 4

Agora o exemplo concreto e a verificação passo a passo. Tome os polinômios
p(x)=x^2\quad\text{e}\quad q(x)=-x^2.
Verificações:
  • Para p(x)=x^2 temos a forma a_2 x^2 + a_1 x + a_0 com a_2=1\neq 0. Logo \deg(p)=2 e p\in W.
  • Para q(x)=-x^2 temos a_2=-1\neq 0. Logo \deg(q)=2 e q\in W.
  • Somando, temos
p(x)+q(x)=x^2+(-x^2)=0,
ou seja, a soma é o polinômio nulo 0. Mas, como expliquei, 0\notin W porque não é um polinômio de grau 2. Assim p,q\in W e p+q\notin W.
Portanto W não é fechado sob adição, o que já é suficiente para concluir que W não é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}). (Como alternativa igualmente simples: multiplicar p(x)=x^2 por \lambda=0 0\notin W, mostrando que W não é fechado sob multiplicação por escalar.)

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova: para mostrar que um conjunto não é subespaço, basta encontrar um contraexemplo que viole uma das propriedades (zero, soma ou multiplicação por escalar). Aqui o contraexemplo mais direto são p(x)=x^2 e q(x)=-x^2: ambos estão em W, mas a soma é 0, que não pertence a W. Logo W não é subespaço.

Resposta

p(x)=x^2 e q(x)=-x^2 pertencem a W, mas p(x)+q(x)=0\notin W. Portanto W não é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}).

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