1. \int_{C} z^{2} d x+x^{2} d y+y^{2} d z, C é o segmento de reta que vai de (1,0,0) a (4,1,2)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{C} z^{2}\,dx + x^{2}\,dy + y^{2}\,dz,
onde C é o segmento de reta que vai de (1,0,0) até (4,1,2).
Informações dadas:
\text{Ponto inicial } A=(1,0,0),\qquad \text{ponto final } B=(4,1,2).
Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha acima ao longo do segmento de reta C.

Passo 2

Vou parametrizar o segmento de reta de A para B. Uma parametrização padrão para o segmento é
\mathbf{r}(t)=A + t(B-A),\qquad 0\le t\le 1.
Calculo B-A=(4-1,\,1-0,\,2-0)=(3,1,2). Portanto a parametrização é
\mathbf{r}(t)=(1+3t,\;0+1t,\;0+2t)=(1+3t,\;t,\;2t),\qquad 0\le t\le 1.
Isto significa que
x(t)=1+3t,\qquad y(t)=t,\qquad z(t)=2t.

Passo 3

Agora calculo os diferenciais dx,dy,dz em termos de dt. Derivando cada componente:
\frac{dx}{dt}=3,\qquad \frac{dy}{dt}=1,\qquad \frac{dz}{dt}=2.
Portanto
dx=3\,dt,\qquad dy=1\,dt,\qquad dz=2\,dt.

Passo 4

Substituo x(t),y(t),z(t) e dx,dy,dz na forma integranda. Vou calcular termo a termo.
Primeiro termo: z^{2}\,dx.
z(t)=2t \Rightarrow z(t)^{2}=(2t)^{2}=4t^{2}
e dx=3\,dt. Logo
z^{2}\,dx = 4t^{2}\cdot 3\,dt = 12t^{2}\,dt.
Segundo termo: x^{2}\,dy.
x(t)=1+3t \Rightarrow x(t)^{2}=(1+3t)^{2}=1+6t+9t^{2}
e dy=dt. Logo
x^{2}\,dy = (1+6t+9t^{2})\,dt.
Terceiro termo: y^{2}\,dz.
y(t)=t \Rightarrow y(t)^{2}=t^{2}
e dz=2\,dt. Logo
y^{2}\,dz = t^{2}\cdot 2\,dt = 2t^{2}\,dt.

Passo 5

Somando os três termos para obter a integranda em função de t:
z^{2}\,dx + x^{2}\,dy + y^{2}\,dz = \bigl(12t^{2}\bigr)dt + \bigl(1+6t+9t^{2}\bigr)dt + \bigl(2t^{2}\bigr)dt.
Agrupando termos semelhantes:
12t^{2}+9t^{2}+2t^{2}=23t^{2},
portanto a integranda fica
(1 + 6t + 23t^{2})\,dt.

Passo 6

Agora calculo a integral de t=0 a t=1:
\int_{C} z^{2}\,dx + x^{2}\,dy + y^{2}\,dz = \int_{0}^{1} \bigl(1 + 6t + 23t^{2}\bigr)\,dt.
Integro termo a termo. As primitivas são:
\int 1\,dt = t,\qquad \int 6t\,dt = 3t^{2},\qquad \int 23t^{2}\,dt = \frac{23}{3}t^{3}.
Logo a primitiva total é
F(t)=t + 3t^{2} + \frac{23}{3}t^{3}.

Passo 7

Avalio F(t) nos limites 0 e 1:
F(1)=1 + 3 + \frac{23}{3} = 4 + \frac{23}{3} = \frac{12}{3} + \frac{23}{3} = \frac{35}{3}.
E F(0)=0. Portanto o valor da integral é
\frac{35}{3}.

Resposta

\dfrac{35}{3}

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