Determine
por convoluções, tomando
e
.
Compare com o resultado do exemplo 1 do teorema de convolução.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
usando convoluções. Foi sugerido tomar
e
.
Vou verificar rapidamente se essas escolhas produzem o produto correto: multiplicando
que não é igual ao alvo
. Portanto, para aplicar diretamente o teorema da convolução de modo que o produto das transformadas seja exatamente o que queremos, é natural corrigir
para
de modo que
que é justamente a função cuja inversa queremos. Vou, então, proceder com
e
. (Se a indicação original
era intencional, isso daria outro produto; aqui adotei a versão consistente com o problema.)
Passo 2
Aplico a transformada inversa a cada fator (a ideia:
, a convolução de
e
).
Conhecimentos básicos úteis:
-
. Logo
-
. Para temos . Assim
Portanto
Passo 3
Agora escrevo a convolução:
Para facilitar, coloco o fator constante para fora:
Passo 4
Uso a identidade de ângulo da função seno:
Substituindo dentro do integral:
Posso separar em duas integrais e tirar constantes
e
para fora da integração (já que são constantes em relação a
):
Defino
Passo 5
Calculo
por partes. Seja
e
. Então
e
. Assim:
Calculando a integral restante:
Portanto
Agora
, por partes com
,
. Então
. Assim:
E
Então
Passo 6
Substituo
e
na expressão da convolução:
Computeo o conteúdo entre colchetes:
Primeiro, multiplico:
Subtraindo:
Como
, o primeiro termo vira
. Os dois termos com
combinam:
Logo
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (cheque de consistência): calculo a transformada de Laplace de
:
Portanto o resultado obtido está correto.
Comparação com o exemplo 1 do teorema da convolução: o resultado coincide com o obtido ao convoluir
e
(ou seja, com o procedimento padrão do exemplo 1), então são compatíveis.
Resposta
Coincide com o resultado do exemplo 1 do teorema da convolução.