Determine \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2} \cdot\left(s^{2}+4\right)}\right\} por convoluções, tomando F(s)=\frac{1}{s^{2}} e G(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Compare com o resultado do exemplo 1 do teorema de convolução.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+4\right)}
usando convoluções. Foi sugerido tomar F(s)=\frac{1}{s^{2}} e G(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Vou verificar rapidamente se essas escolhas produzem o produto correto: multiplicando
F(s)G(s)=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}=\frac{1}{s\left(s^{2}+4\right)},
que não é igual ao alvo \frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+4\right)}. Portanto, para aplicar diretamente o teorema da convolução de modo que o produto das transformadas seja exatamente o que queremos, é natural corrigir G(s) para
G(s)=\frac{1}{s^{2}+4},
de modo que
F(s)G(s)=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}=\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+4\right)},
que é justamente a função cuja inversa queremos. Vou, então, proceder com F(s)=\dfrac{1}{s^{2}} e G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4}. (Se a indicação original G(s)=\dfrac{s}{s^{2}+4} era intencional, isso daria outro produto; aqui adotei a versão consistente com o problema.)

Passo 2

Aplico a transformada inversa a cada fator (a ideia: \mathscr{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = f*g, a convolução de f e g).
Conhecimentos básicos úteis:
  • \mathscr{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}. Logo
f(t)=\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t.
  • \mathscr{L}\{\sin(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}. Para \omega=2 temos \mathscr{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}. Assim
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t).
Portanto
g(t)=\frac{1}{2}\sin(2t).

Passo 3

Agora escrevo a convolução:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t} \tau\cdot\frac{1}{2}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,d\tau.
Para facilitar, coloco o fator constante para fora:
(f*g)(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t} \tau\,\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Uso a identidade de ângulo da função seno:
\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)=\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau).
Substituindo dentro do integral:
(f*g)(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t} \tau\bigl[\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau)\bigr]\,d\tau.
Posso separar em duas integrais e tirar constantes \sin(2t) e \cos(2t) para fora da integração (já que são constantes em relação a \tau):
(f*g)(t)=\frac{1}{2}\left[\sin(2t)\int_{0}^{t}\tau\cos(2\tau)\,d\tau-\cos(2t)\int_{0}^{t}\tau\sin(2\tau)\,d\tau\right].
Defino
I_{1}=\int_{0}^{t}\tau\cos(2\tau)\,d\tau,\qquad I_{2}=\int_{0}^{t}\tau\sin(2\tau)\,d\tau.

Passo 5

Calculo I_{1} por partes. Seja u=\tau e dv=\cos(2\tau)d\tau. Então du=d\tau e v=\frac{1}{2}\sin(2\tau). Assim:
I_{1}=\Bigl[\tau\cdot\frac{1}{2}\sin(2\tau)\Bigr]_{0}^{t}-\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\sin(2\tau)\,d\tau =\frac{t}{2}\sin(2t)-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin(2\tau)\,d\tau.
Calculando a integral restante:
\int_{0}^{t}\sin(2\tau)\,d\tau=-\frac{1}{2}\bigl(\cos(2t)-\cos 0\bigr)=-\frac{1}{2}\bigl(\cos(2t)-1\bigr).
Portanto
I_{1}=\frac{t}{2}\sin(2t)-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\bigl(\cos(2t)-1\bigr)\right] =\frac{t}{2}\sin(2t)-\frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr).
Agora I_{2}, por partes com u=\tau, dv=\sin(2\tau)d\tau. Então v=-\frac{1}{2}\cos(2\tau). Assim:
I_{2}=\Bigl[-\frac{\tau}{2}\cos(2\tau)\Bigr]_{0}^{t}+\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\cos(2\tau)\,d\tau =-\frac{t}{2}\cos(2t)+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos(2\tau)\,d\tau.
E
\int_{0}^{t}\cos(2\tau)\,d\tau=\frac{1}{2}\sin(2t).
Então
I_{2}=-\frac{t}{2}\cos(2t)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t) =-\frac{t}{2}\cos(2t)+\frac{1}{4}\sin(2t).

Passo 6

Substituo I_{1} e I_{2} na expressão da convolução:
(f*g)(t)=\frac{1}{2}\Bigl[\sin(2t)\,I_{1}-\cos(2t)\,I_{2}\Bigr].
Computeo o conteúdo entre colchetes:
Primeiro, multiplico:
\sin(2t)I_{1}=\sin(2t)\left(\frac{t}{2}\sin(2t)-\frac{1}{4}(1-\cos(2t))\right) =\frac{t}{2}\sin^{2}(2t)-\frac{1}{4}\sin(2t)\bigl(1-\cos(2t)\bigr).
\cos(2t)I_{2}=\cos(2t)\left(-\frac{t}{2}\cos(2t)+\frac{1}{4}\sin(2t)\right) =-\frac{t}{2}\cos^{2}(2t)+\frac{1}{4}\sin(2t)\cos(2t).
Subtraindo:
\sin(2t)I_{1}-\cos(2t)I_{2}=\frac{t}{2}\bigl(\sin^{2}(2t)+\cos^{2}(2t)\bigr) -\frac{1}{4}\sin(2t)\bigl(1-\cos(2t)\bigr)-\frac{1}{4}\sin(2t)\cos(2t).
Como \sin^{2}+\cos^{2}=1, o primeiro termo vira \dfrac{t}{2}. Os dois termos com \sin(2t) combinam:
-\frac{1}{4}\sin(2t)\bigl(1-\cos(2t)\bigr)-\frac{1}{4}\sin(2t)\cos(2t) =-\frac{1}{4}\sin(2t)\bigl(1-\cos(2t)+\cos(2t)\bigr) =-\frac{1}{4}\sin(2t).
Logo
\sin(2t)I_{1}-\cos(2t)I_{2}=\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t).
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora, obtemos
(f*g)(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t)\right) =\frac{t}{4}-\frac{1}{8}\sin(2t).

Passo 7

Verificação rápida (cheque de consistência): calculo a transformada de Laplace de \dfrac{t}{4}-\dfrac{1}{8}\sin(2t):
\mathscr{L}\!\left\{\frac{t}{4}-\frac{1}{8}\sin(2t)\right\} =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{s^{2}+4} =\frac{1}{4s^{2}}-\frac{1}{4(s^{2}+4)} =\frac{(s^{2}+4)-s^{2}}{4s^{2}(s^{2}+4)} =\frac{1}{s^{2}(s^{2}+4)}.
Portanto o resultado obtido está correto.
Comparação com o exemplo 1 do teorema da convolução: o resultado coincide com o obtido ao convoluir t e \tfrac{1}{2}\sin(2t) (ou seja, com o procedimento padrão do exemplo 1), então são compatíveis.

Resposta

\displaystyle \frac{t}{4}-\frac{1}{8}\sin(2t)
Coincide com o resultado do exemplo 1 do teorema da convolução.

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