Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[lllll4 & 0 & 7 & 3 & 5 2 & 0 & 2 & 1 & 0 7 & 3 & 2 & 4 & 8 5 & 0 & 5 & 2 & 3 0 & 0 & 9 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A= 4 & 0 & 7 & 3 & 5 2 & 0 & 2 & 1 & 0 7 & 3 & 2 & 4 & 8 5 & 0 & 5 & 2 & 3 0 & 0 & 9 & 1 & 2
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1.
O conteúdo é determinante e inversa de matriz via eliminação de Gauss–Jordan. Vamos primeiro calcular det(A) e depois montar [Amid I] para chegar a [Imid A^-1].

Passo 2

Como a segunda coluna de A tem só um elemento não nulo ( a3,2=3), fazemos expansão de Laplace nessa coluna:
det(A) =(-1)^3+2cdot 3;det 4 & 7 & 3 & 5 2 & 2 & 1 & 0 5 & 5 & 2 & 3 0 & 9 & 1 & 2
Chamando essa 4times4 de M, por eliminação obtemos det(M)=-75. Logo
det(A)=(-1)^5cdot3cdot(-75)=225neq0,
logo A é inversível.

Passo 3

Montamos o sistema aumentado [Amid I5] e aplicamos Gauss–Jordan.
1. Pivot em a1,1=4, eliminamos linhas 2,3, 4.
2. Pivot em a2,2=3, dividimos linha 2 por 3 e zeramos col 2 nas outras linhas.
3. Pivot em a3,3, etc.
Após completar pivôs em todas as colunas e zerar acima e abaixo de cada pivô, chegamos a
l[I5mid A^-1r],
cuja parte direita é

Passo 4

Resultados finais das linhas normalizadas (após pivôs sucessivos em colunas 1,2, 3,4 e 5):
r|ccccc & & & & & [-4pt] Linha 1:&1&0&0&0&0 &l|;-,tfrac1975,;-,tfrac775,;0,;tfrac1125,;-,tfrac275r[6pt] Linha 2:&0&1&0&0&0 &l|;-,tfrac139225,;tfrac83225,;tfrac13,;-,tfrac325,;tfrac88225r[6pt] Linha 3:&0&0&1&0&0 &l|;-,tfrac875,;tfrac175,;0,;tfrac225,;tfrac1175r[6pt] Linha 4:&0&0&0&1&0 &l|;tfrac1825,;tfrac2925,;0,;-,tfrac2625,;-,tfrac625r[6pt] Linha 5:&0&0&0&0&1 &l|;tfrac325,;-,tfrac1625,;0,;tfrac425,;-,tfrac125r ]

Resposta

A matriz A é inversível (pois det(A)=225neq0) e
A^-1 = -tfrac1975&-tfrac775&0&tfrac1125&-tfrac275 -tfrac139225&tfrac83225&tfrac13&-tfrac325&tfrac88225 -tfrac875&tfrac175&0&tfrac225&tfrac1175 tfrac1825&tfrac2925&0&-tfrac2625&-tfrac625 tfrac325&-tfrac1625&0&tfrac425&-tfrac125

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