Sabendo-se que as matrizes A, X e B são inversíveis e de ordem 3, A e B simétricas, det(A)=-2 e det(B^T)=1, encontre det(X), de modo que
[(A X B)^-1] A=(4 A B)^T

Passo 1

O enunciado dá três matrizes invertíveis de ordem 3, A, X e B, sendo A e B simétricas, com
det(A)=-2 e det(B^T)=1.
Queremos encontrar det(X) tal que
l[(A X B)^-1r],A ;=;(4,A,B)^T
Para isso vamos usar as propriedades de inversa de produto, transposta e determinante.

Passo 2

Aplicamos ,(A X B)^-1=B^-1X^-1A^-1 e obtemos
(A X B)^-1,A = B^-1X^-1A^-1A = B^-1X^-1
Do outro lado, como (4AB)^T=4,B^T,A^T e A^T=A, B^T=B, vem
(4,A,B)^T = 4,B,A
Logo a equação vira
B^-1X^-1 = 4,B,A

Passo 3

Multiplicando à esquerda por B e depois invertendo, isolamos X:
X^-1 = 4,B,B,A = 4,B^2A Longrightarrow X = (4,B^2A)^-1 = tfrac14,A^-1,(B^2)^-1 = tfrac14,A^-1,B^-2

Passo 4

Usamos as regras
det(cM)=c^ndet(M), det(M^-1)=1/det(M) e det(M^k)=det(M)^k para n=3:
det(X) = det!l(tfrac14A^-1B^-2r) = l(tfrac14r)^3det(A^-1)det(B^-2) = tfrac164,1det(A),1det(B)^2

Passo 5

Substituindo det(A)=-2 e det(B)=det(B^T)=1, resulta
det(X) = tfrac164;1-2;11^2 = -tfrac1128

Resposta

-tfrac1128

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