Determine a matriz associada à transformação linear T(p(x))=p(x+1), definida sobre o espaço vetorial P2[x] (ver questão 4), quando:
As bases do domínio e do codomínio são B=1, x, x^2 e B^prime=1, x, x^2, respetivamente.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Tcolon P2[x]to P2[x] dada por
Tl(p(x)r)=p(x+1)
nas bases padrão
;B=1,x,x^2 no domínio e ;B'=1,x,x^2 no contradomínio.
Para montar a matriz, precisamos calcular as imagens de cada vetor de B por T e expressá-las em coordenadas na base B'.

Passo 2

Calcular T(1). Como 1 é constante,
T(1)=1
Em coordenadas na base B', isto é
T(1)=1cdot 1 + 0cdot x + 0cdot x^2,
logo o vetor de coordenadas é ,(1,0,0)^T.

Passo 3

Calcular T(x). Substituindo xmapsto x+1,
T(x)=x+1
Em B' isso vale
x+1 = 1cdot 1 + 1cdot x + 0cdot x^2,
portanto o vetor de coordenadas é ,(1,1,0)^T.

Passo 4

Calcular T(x^2). Substituindo xmapsto x+1,
T(x^2)=(x+1)^2=x^2+2x+1
Em B' fica
x^2+2x+1 = 1cdot 1 + 2cdot x + 1cdot x^2,
e o vetor de coordenadas é ,(1,2,1)^T.

Passo 5

Formar a matriz de T cujas colunas são as coordenadas de T(1), T(x) e T(x^2), nessa ordem. Assim,
[T]B,B'= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Resposta

[T]B,B'= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

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