Seja T: M2 times 2(R) R^2 uma transformação linear tal que
ll T([cc 1 & 0 0 & 0 ])=(1,1) ; & T([ll 1 & 1 0 & 0 ])=(-2,0) T([ll 1 & 1 1 & 0 ])=(3,4) ; T([ll 1 & 1 1 & 1 ])=(1,1)
Determine
T([lla & b c & d]).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
e informa os valores de em quatro matrizes específicas:
Precisamos achar uma fórmula fechada para
Como é linear, basta expressar a matriz genérica

na base canônica

e calcular .

Passo 2

Identificamos primeiro
E11 = 1&00&0,
e já temos
T(E11) = (1,1)
Para os outros Eij usamos combinações das matrizes dadas:
B - A = 1&10&0 - 1&00&0 = 0&10&0 = E12
Pela linearidade,
T(E12) = T(B)-T(A) = (-2,0)-(1,1) = (-3,-1)

Passo 3

Para E21 note que
C - B = 1&11&0 - 1&10&0 = 0&01&0 = E21
Logo,
T(E21) = T(C)-T(B) = (3,4)-(-2,0) = (5,4)

Passo 4

Por fim, para E22 usamos
D - C = 1&11&1 - 1&11&0 = 0&00&1 = E22,
e
T(E22) = T(D)-T(C) = (1,1)-(3,4) = (-2,-3)

Passo 5

Agora expandimos

e, pela linearidade,
Substituindo os vetores:

Resposta

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