Seja
uma transformação linear tal que
Determine
T([cc3 & -1 4 & 2]) .
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
cuja ação em quatro matrizes especiais é dada. Queremos usar essa informação para determinar
Conteúdo: uso da linearidade e expressão em base canônica de
M2times2(R) .
Passo 2
Seja
onde
Eij tem 1 na posição
(i,j) e zeros nos demais. Pelas imagens fornecidas:
-
, logoT(E11)=(1,1) .a=(1,1) -
, isto éT(E11+E12)=(-2,0) .a+b=(-2,0) -
, isto éT(E11+E12+E21)=(3,4) .a+b+c=(3,4) -
, isto éT(E11+E12+E21+E22)=(1,1) .a+b+c+d=(1,1)
Passo 3
Da equação
a+b=(-2,0) com
a=(1,1) temos
Passo 4
Da equação
a+b+c=(3,4) e
a+b=(-2,0) obtemos
Passo 5
Da equação
a+b+c+d=(1,1) e
a+b+c=(3,4) vem
Passo 6
A matriz desejada é
Pela linearidade,
Substituindo
a=(1,1) ,
b=(-3,-1) ,
c=(5,4) ,
d=(-2,-3) :
Somando componente a componente: