Seja T: M2 times 2(R) R^2 uma transformação linear tal que
ll T([cc 1 & 0 0 & 0 ])=(1,1) ; & T([ll 1 & 1 0 & 0 ])=(-2,0) T([ll 1 & 1 1 & 0 ])=(3,4) ; T([ll 1 & 1 1 & 1 ])=(1,1)
Determine
T([cc3 & -1 4 & 2]).

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear
T: M2times2(R) to R^2
cuja ação em quatro matrizes especiais é dada. Queremos usar essa informação para determinar
T!l(3 & -14 & 2r)
Conteúdo: uso da linearidade e expressão em base canônica de M2times2(R).

Passo 2

Seja
a = T!l(E11r), b = T!l(E12r), c = T!l(E21r), d = T!l(E22r),
onde Eij tem 1 na posição (i,j) e zeros nos demais. Pelas imagens fornecidas:
  1. T(E11)=(1,1), logo a=(1,1).
  2. T(E11+E12)=(-2,0), isto é a+b=(-2,0).
  3. T(E11+E12+E21)=(3,4), isto é a+b+c=(3,4).
  4. T(E11+E12+E21+E22)=(1,1), isto é a+b+c+d=(1,1).

Passo 3

Da equação a+b=(-2,0) com a=(1,1) temos
b = (-2,0)-a = (-2,0)-(1,1) = (-3,-1)

Passo 4

Da equação a+b+c=(3,4) e a+b=(-2,0) obtemos
c = (3,4)-(a+b) = (3,4)-(-2,0) = (5,4)

Passo 5

Da equação a+b+c+d=(1,1) e a+b+c=(3,4) vem
d = (1,1)-(a+b+c) = (1,1)-(3,4) = (-2,-3)

Passo 6

A matriz desejada é
3 & -14 & 2 = 3E11 -1,E12 +4,E21 +2,E22
Pela linearidade,
Tl(3 & -14 & 2r) =3a -1,b +4c +2d
Substituindo a=(1,1), b=(-3,-1), c=(5,4), d=(-2,-3):
3a=(3,3), -1,b=(3,1), 4c=(20,16), 2d=(-4,-6)
Somando componente a componente:
(3+3+20-4,;3+1+16-6) = (22,14)

Resposta

(22,14)

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