Determine a matriz associada à transformação linear T(p(x))=p(x+1), definida sobre o espaço vetorial P2[x] (ver questão 4), quando:
As bases do domínio e do codomínio são B=1, x+1,(x+1)^2 e B^prime=1, x, x^2, respetivamente.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Tcolon P2[x]to P2[x] definida por
Tl(p(x)r)=p(x+1)
quando a base do domínio é
B=,1,;x+1,;(x+1)^2
e a base do codomínio é
B'=,1,;x,;x^2
O conteúdo é mudança de base e aplicação de transformação linear em polinômios. Vamos calcular T em cada vetor de B e expressar nas coordenadas da base B'.

Passo 2

Para achar a matriz, calculamos T(bj) para cada bjin B e escrevemos o resultado como combinação linear dos vetores de B'. Essas coordenadas serão as colunas da matriz procurada.

Passo 3

Compute T(1). Como p(x)=1, temos
T(1)=1
Em coordenadas de B' isto é
1 = 1cdot 1 + 0cdot x + 0cdot x^2,
logo a primeira coluna é 100

Passo 4

Compute T(x+1). Tomando p(x)=x+1,
T(x+1) = (x+1)+1 = x+2
Em B':
x+2 = 2cdot 1 + 1cdot x + 0cdot x^2,
portanto a segunda coluna é 210

Passo 5

Compute Tl((x+1)^2r). Com p(x)=(x+1)^2,
Tl((x+1)^2r) = (x+1+1)^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
Em B':
x^2 + 4x + 4 = 4cdot 1 + 4cdot x + 1cdot x^2,
daí a terceira coluna é 441

Passo 6

Juntando as colunas, a matriz de T em relação às bases B e B' é
[T]B,B' = 1 & 2 & 4 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1

Resposta

[T]B,B' = 1 & 2 & 4 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1

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