Determine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}. T_{2}: M_{2}(R) \rightarrow R^{3}, \quad T_{2}\binom{x y}{z w}=(x, x-3 y+w, z-w) \quad, \quad \beta_{2}=\{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,-2)\} \quad e \alpha_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\} . Passo 1O enunciado define a transformação linear T_2\colon M_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^3 dada por T_2\begin{pmatrix}x&y\z&w\end{pmatrix}=(x,\;x-3y+w,\;z-w). As bases são \alpha_2=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\right\}, \beta_2=\{(1,1,0),\,(0,1,0),\,(0,0,-2)\}. Vamos determinar a matriz de T_2 relativa a \alpha_2 e \beta_2. Passo 2Para cada vetor da base \alpha_2 calculamos sua imagem por T_2: A_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&0\end{pmatrix}\implies T_2(A_1)=(1,\;1,\;-1), A_2=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\implies T_2(A_2)=(0,\;-3,\;-1), A_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\implies T_2(A_3)=(0,\;0,\;1), A_4=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\implies T_2(A_4)=(0,\;1,\;-1). Passo 3Para escrever cada T_2(A_j) na base \beta_2 resolvemos (a,b,c)_\beta\text{ tal que }a\,(1,1,0)+b\,(0,1,0)+c\,(0,0,-2)=(v_1,v_2,v_3). Isso dá a=v_1,\quad b=v_2-v_1,\quad c=-\frac{v_3}{2}. Passo 4Aplicando a fórmula acima: para T_2(A_1)=(1,1,-1) obtemos (a,b,c)=(1,0,\tfrac12), para T_2(A_2)=(0,-3,-1) obtemos (0,-3,\tfrac12), para T_2(A_3)=(0,0,1) obtemos (0,0,-\tfrac12), para T_2(A_4)=(0,1,-1) obtemos (0,1,\tfrac12). Passo 5A matriz de T_2 relativa a \alpha_2,\beta_2 tem colunas iguais a esses vetores coordenados, isto é [T_2]_{\beta_2,\alpha_2}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & 0 & 1 \\\ \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}. RespostaA matriz associada é [T_2]_{\beta_2,\alpha_2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & 0 & 1 \\\ \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}. T_{1}: R^{2} \rightarrow R^{3}, T_{1}(x, y)=(x+3 y, x, x-y), \alpha_{1} é a base canônica de R^{2} e \beta_{1}=\{(1,0,-1),(0,0,1),(0,2,4)\}). Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} de forma que T(x, y)=(2 x, y-x, y) a) ( 2,5 pontos) Mostre que T é uma transformaçãoo linear. \checkmark b) ( 2,5 pontos) Determine a matriz canônica dessa transformação linear. Determine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}. T_{3}: P_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad T_{3}\left(x t^{2}+y t+z\right)=\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & x+y-z\end{array}\right), \alpha_{3}=\left\{t+1, t+2, t^{2}\right\} e \beta_{3} é a base canônica de M2®. Determine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}. T_{4}: V \rightarrow V, \alpha_{4}=\beta_{4}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, onde T_{4}\left(v_{1}\right)=2 v_{1}, T_{4}\left(v_{2}\right)=-3 v_{2} e T_{4}\left(v_{3}\right)=v_{3}.