Determine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}.
T_{1}: R^{2} \rightarrow R^{3}, T_{1}(x, y)=(x+3 y, x, x-y), \alpha_{1} é a base canônica de R^{2} e \beta_{1}=\{(1,0,-1),(0,0,1),(0,2,4)\}).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T_{1}: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},
T_{1}(x,y)=(x+3y,\;x,\;x-y),
na base canônica \alpha_{1}=\{e_{1},e_{2}\} de \mathbb{R}^{2} e na base \beta_{1}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, com
b_{1}=(1,0,-1),\quad b_{2}=(0,0,1),\quad b_{3}=(0,2,4).
Para isso, vamos calcular T_{1}(e_{1}) e T_{1}(e_{2}) e expressá-los como combinações lineares de b_{1},b_{2},b_{3}.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores da base canônica:
T_{1}(e_{1})=T_{1}(1,0)=(1+3\cdot0,\;1,\;1-0)=(1,1,1),
T_{1}(e_{2})=T_{1}(0,1)=(0+3\cdot1,\;0,\;0-1)=(3,0,-1).

Passo 3

Para achar as coordenadas de T_{1}(e_{1}) em \beta_{1}, suponha
T_{1}(e_{1})=\alpha\,b_{1}+\beta\,b_{2}+\gamma\,b_{3}.
Isso dá
\alpha\,(1,0,-1)+\beta\,(0,0,1)+\gamma\,(0,2,4) =(\alpha,\;2\gamma,\;-\,\alpha+\beta+4\gamma) \overset{!}{=}(1,1,1).
Igualando coordenadas:
\alpha=1,\quad 2\gamma=1,\quad -\alpha+\beta+4\gamma=1.
Logo
\alpha=1, \gamma=\tfrac12 e \beta=0.
Assim, as coordenadas de T_{1}(e_{1}) em \beta_{1} são
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\tfrac12\end{pmatrix}.

Passo 4

Para T_{1}(e_{2}), suponha
T_{1}(e_{2})=\alpha'\,b_{1}+\beta'\,b_{2}+\gamma'\,b_{3}.
Temos
(\alpha',\,2\gamma',\,-\alpha'+\beta'+4\gamma') =(3,0,-1),
o que dá
\alpha'=3,\quad 2\gamma'=0,\quad -\alpha'+\beta'+4\gamma'=-1.
Logo
\alpha'=3, \gamma'=0 e \beta'=2.
As coordenadas de T_{1}(e_{2}) em \beta_{1} são
\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de T_{1} de \alpha_{1} para \beta_{1} tem colunas iguais às coordenadas de T_{1}(e_{1}) e T_{1}(e_{2}) em \beta_{1}. Portanto:
\bigl[T_{1}\bigr]_{\alpha_{1}}^{\beta_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 0 & 2\\\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\bigl[T_{1}\bigr]_{\alpha_{1}}^{\beta_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 0 & 2\\\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix}.

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