Determine a matriz associada a transformação T_{i} com relação as bases \alpha_{i} e \beta_{i}.
T_{3}: P_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad T_{3}\left(x t^{2}+y t+z\right)=\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & x+y-z\end{array}\right), \alpha_{3}=\left\{t+1, t+2, t^{2}\right\} e \beta_{3} é a base canônica de M2®.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T_3\colon P_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R}),\quad T_3(x\,t^2+y\,t+z) =\begin{pmatrix}x & y\\\ z & x+y-z\end{pmatrix},
a base do domínio é \alpha_3=\{t+1,\;t+2,\;t^2\} e a do contradomínio é a base canônica
\beta_3=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}. Precisamos encontrar a matriz de T_3 em relação a \alpha_3,\beta_3.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de \alpha_3:
  1. Para t+1 temos x=0,\;y=1,\;z=1, então
T_3(t+1)= \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0+1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Para t+2 temos x=0,\;y=1,\;z=2, logo
T_3(t+2)= \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 2 & 0+1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 2 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Para t^2 temos x=1,\;y=0,\;z=0, logo
T_3(t^2)= \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1+0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Expressar cada imagem em coordenadas na base canônica \beta_3:
  • T_3(t+1) dá o vetor coluna \bigl(0,1,1,0\bigr)^T.
  • T_3(t+2) dá o vetor coluna \bigl(0,1,2,-1\bigr)^T.
  • T_3(t^2) dá o vetor coluna \bigl(1,0,0,1\bigr)^T.

Passo 4

A matriz de T_3 em relação a \alpha_3,\beta_3 é a matriz 4\times3 cujas colunas são esses vetores de coordenadas:
[T_3]_{\beta_3,\alpha_3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T_3]_{\beta_3,\alpha_3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

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