Determine a matriz de cada uma das transformações acima.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
$

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+4y-z,;2x+7y+2z,;9x+10y+9z)
Para resolver, vamos usar o fato de que, na base canônica de R^3, a matriz de T tem colunas dadas pelas imagens dos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1).

Passo 2

Como T é linear e e1,e2,e3 é a base canônica, temos
mat(T)=l[,T(e1);;T(e2);;T(e3)r]
Ou seja, basta calcular T(e1), T(e2) e T(e3) e colocá-los como colunas na matriz.

Passo 3

Calculando as imagens dos vetores canônicos:
T(e1)=T(1,0,0)=(-1,2,9)
T(e2)=T(0,1,0)=(4,7,10)
T(e3)=T(0,0,1)=(-1,2,9)

Passo 4

Agora montamos a matriz colocando essas imagens como colunas, na ordem e1,e2,e3:
A = -1 & 4 & -1 2 & 7 & 2 9 & 10& 9

Resposta

-1 & 4 & -1 2 & 7 & 2 9 & 10& 9

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