Determine a matriz de cada uma das transformações acima.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
$
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
$
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear
definida por
Para resolver, vamos usar o fato de que, na base canônica de
, a matriz de
tem colunas dadas pelas imagens dos vetores
,
e
.
Passo 2
Como
é linear e
é a base canônica, temos
Ou seja, basta calcular
,
e
e colocá-los como colunas na matriz.
Passo 3
Calculando as imagens dos vetores canônicos:
Passo 4
Agora montamos a matriz colocando essas imagens como colunas, na ordem
: