Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(a)
tal que
e
.
(b)
dada por
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a matriz canônica de duas transformações lineares. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente transformações lineares e suas representações matriciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares podem ser representadas por matrizes, usando as imagens dos vetores da base canônica.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A transformação linear
é definida pelas imagens dos vetores da base canônica:
Para encontrar a matriz canônica dessa transformação, precisamos organizar essas imagens como colunas da matriz.
Passo 3
A base canônica de
é formada pelos vetores
e
. A matriz canônica
de
terá suas colunas exatamente as imagens destes vetores:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). A transformação linear
é dada por:
Queremos encontrar a matriz canônica dessa transformação. Aqui, estamos trabalhando de
para
, então a matriz terá 2 linhas e 3 colunas.
Passo 5
Para construir a matriz canônica, identificamos como cada coordenada de entrada afeta cada coordenada de saída. Observando a expressão de
:
- A primeira coordenada
indica que: - Coeficiente de
é 1 - Coeficiente de
é -2 - Coeficiente de
é 0
- Coeficiente de
- A segunda coordenada
indica que: - Coeficiente de
é 1 - Coeficiente de
é 1 - Coeficiente de
é -3
- Coeficiente de
Passo 6
Organizando esses coeficientes em uma matriz, temos:
Essa é a matriz canônica da transformação
de
para
.
Resposta
(a) A matriz canônica é:
(b) A matriz canônica é: