Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(a) T: R^2 R^2 tal que T(1,0)=(2,-3) e T(0,1)=(-1,1).
(b) T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, x+y-3 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a matriz canônica de duas transformações lineares. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente transformações lineares e suas representações matriciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares podem ser representadas por matrizes, usando as imagens dos vetores da base canônica.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A transformação linear T(1,0) = (2, -3) é definida pelas imagens dos vetores da base canônica:
T(0,1) = (-1, 1)
Para encontrar a matriz canônica dessa transformação, precisamos organizar essas imagens como colunas da matriz.

Passo 3

A base canônica de A = T(e1) & T(e2) = 2 & -1 -3 & 1 é formada pelos vetores e . A matriz canônica de terá suas colunas exatamente as imagens destes vetores:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). A transformação linear T(x, y, z) = (x - 2y, x + y - 3z) é dada por:
Queremos encontrar a matriz canônica dessa transformação. Aqui, estamos trabalhando de para , então a matriz terá 2 linhas e 3 colunas.

Passo 5

Para construir a matriz canônica, identificamos como cada coordenada de entrada afeta cada coordenada de saída. Observando a expressão de :
  • A primeira coordenada indica que:
    • Coeficiente de é 1
    • Coeficiente de é -2
    • Coeficiente de é 0
  • A segunda coordenada indica que:
    • Coeficiente de é 1
    • Coeficiente de é 1
    • Coeficiente de é -3

Passo 6

Organizando esses coeficientes em uma matriz, temos:
A = 1 & -2 & 0 1 & 1 & -3
Essa é a matriz canônica da transformação de para .

Resposta

(a) A matriz canônica é:
2 & -1 -3 & 1
(b) A matriz canônica é:
1 & -2 & 0 1 & 1 & -3

Exercícios relacionados