Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(a) 
(b) 
© 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(j) 
(k) 
(l) 
(m) 
(n) 
(o) 
§ 
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
Passo 1
Vamos dar uma olhada na transformação 
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores 
Calculando cada lado:
Vemos que 
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que, para qualquer escalar 
Calculando cada lado:
Portanto, 
Passo 4
Vamos analisar a transformação 
Passo 5
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer 
Claramente, 
Passo 6
Vamos examinar a transformação 
Passo 7
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Observamos que 
Passo 8
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 9
Vamos verificar a transformação 
Passo 10
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Claramente, 
Passo 11
Analisamos a transformação 
Passo 12
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Vemos que 
Passo 13
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 14
Vamos verificar a transformação 
Passo 15
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Vemos que 
Passo 16
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 17
Vamos analisar a transformação 
Passo 18
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Claramente, 
Passo 19
Vamos verificar a transformação 
Passo 20
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Portanto, 
Passo 21
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Assim, 
Passo 22
Vamos analisar o operador identidade 
Passo 23
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Logo, 
Passo 24
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 25
Vamos verificar a transformação 
Passo 26
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Logo, 
Passo 27
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 28
Vamos analisar a transformação 
Passo 29
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer 
Assim, 
Passo 30
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 31
Vamos verificar a transformação 
Passo 32
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Logo, 
Passo 33
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 34
Vamos analisar a transformação 
Queremos verificar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 35
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Portanto, 
Passo 36
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 37
Vamos verificar a transformação 
Passo 38
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Claro que 
Passo 39
Vamos analisar a transformação 
Passo 40
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Logo, 
Passo 41
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Passo 42
Vamos verificar a transformação 
Passo 43
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores 
Logo, 
Passo 44
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar 
Portanto, 
Resposta
Sim, a transformação 
