Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(a)
dada por
;
(b)
dada por
;
©
dada por
;
(d)
dada por
;
(e)
dada por
;
(f)
dada por
;
(g)
dada por
;
(h)
dada por
(conhecida como transformação nula);
(i)
dada por
conhecida como operador identidade);
(j)
dada por
(conhecida como reflexão em torno do eixo
);
(k)
dada por
(conhecida como inclusão de
em
);
(l)
dada por
conhecida como inclusão de
em
);
(m)
dada por
(conhecida como rotação de um ângulo
);
(n)
dada por
, onde
são constantes (conhecida como translação segundo o vetor
);
(o)
dada por
(conhecida como projeção ortogonal sobre o eixo
);
§
dada por
(conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
Passo 1
Vamos dar uma olhada na transformação
definida por
. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente verificando se essa transformação é linear. Para isso, precisamos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores
e
em
, a transformação deve satisfazer:
Calculando cada lado:
Vemos que
, então a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que, para qualquer escalar
e qualquer vetor
em
, a transformação deve satisfazer:
Calculando cada lado:
Portanto,
, e a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 4
Vamos analisar a transformação
definida por
. Queremos verificar se ela é linear, utilizando as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 5
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer
:
Claramente,
a menos que
, o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.
Passo 6
Vamos examinar a transformação
dada por
. Nosso objetivo é verificar se ela é linear, verificando aditividade e homogeneidade.
Passo 7
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Observamos que
, então a aditividade é satisfeita.
Passo 8
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, e a propriedade de homogeneidade é satisfeita.
Passo 9
Vamos verificar a transformação
definida por
. Queremos saber se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 10
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Claramente,
a menos que
, o que nem sempre é o caso. Assim, a aditividade não é satisfeita.
Passo 11
Analisamos a transformação
dada por
. Vamos verificar se ela é linear através das propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 12
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Vemos que
, portanto, a aditividade é satisfeita.
Passo 13
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, e a homogeneidade é satisfeita.
Passo 14
Vamos verificar a transformação
definida por
. Nosso objetivo é determinar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 15
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Vemos que
, então a aditividade é satisfeita.
Passo 16
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, e a homogeneidade é satisfeita.
Passo 17
Vamos analisar a transformação
definida por
. Nosso objetivo é verificar se ela é linear, verificando as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 18
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Claramente,
. Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.
Passo 19
Vamos verificar a transformação
definida por
, conhecida como transformação nula. Queremos confirmar se ela é linear, analisando aditividade e homogeneidade.
Passo 20
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
:
Portanto,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 21
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Assim,
, satisfazendo a homogeneidade.
Passo 22
Vamos analisar o operador identidade
definido por
. Nosso objetivo é verificar se ele é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 23
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
:
Logo,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 24
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, satisfazendo a homogeneidade.
Passo 25
Vamos verificar a transformação
definida por
, conhecida como reflexão em torno do eixo
. Queremos saber se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 26
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Logo,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 27
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, satisfazendo a homogeneidade.
Passo 28
Vamos analisar a transformação
definida por
, conhecida como inclusão de
em
. Queremos verificar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 29
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer
:
Assim,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 30
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e
:
Portanto,
, satisfazendo a homogeneidade.
Passo 31
Vamos verificar a transformação
definida por
, conhecida como inclusão de
em
. Nosso objetivo é determinar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 32
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Logo,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 33
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, satisfazendo a homogeneidade.
Passo 34
Vamos analisar a transformação
definida pela matriz de rotação:
Queremos verificar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 35
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Portanto,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 36
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, satisfazendo a homogeneidade.
Passo 37
Vamos verificar a transformação
definida por
, onde
são constantes. Queremos saber se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 38
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Claro que
porque
e
são adicionados duas vezes no segundo caso. Portanto, a aditividade não é satisfeita.
Passo 39
Vamos analisar a transformação
definida por
, conhecida como projeção ortogonal sobre o eixo
. Queremos verificar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 40
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Logo,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 41
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, satisfazendo a homogeneidade.
Passo 42
Vamos verificar a transformação
definida por
, conhecida como projeção ortogonal sobre o plano
. Nosso objetivo é determinar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.
Passo 43
Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores
e
:
Logo,
, satisfazendo a aditividade.
Passo 44
Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Portanto,
, satisfazendo a homogeneidade.
Resposta
Sim, a transformação
é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.