Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(a) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x);
(b) T: R R dada por T(x)=x^2;
© T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x+2 y, y,-x+3 y);
(d) T: R^2 R dada por T(x, y)=x y;
(e) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, 2 y, 0);
(f) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y);
(g) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+2, y+1, z);
(h) T: V W dada por T(v)=0 (conhecida como transformação nula);
(i) T: V V dada por T(v)=v( conhecida como operador identidade);
(j) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x,-y) (conhecida como reflexão em torno do eixo x );
(k) T: R R^2 dada por T(x)=(x, 0) (conhecida como inclusão de R em R^2 );
(l) T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x, y, 0)( conhecida como inclusão de R^2 em R^3 );
(m) T: R^2 R^2 dada por
[l x y ] stackrelTmapsto[cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ][l x y ]
(conhecida como rotação de um ângulo theta );
(n) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+a, y+b), onde a, b in R são constantes (conhecida como translação segundo o vetor (a, b) );
(o) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x, 0) (conhecida como projeção ortogonal sobre o eixo x );
§ T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, y, 0) (conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);

Passo 1

Vamos dar uma olhada na transformação definida por . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente verificando se essa transformação é linear. Para isso, precisamos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e u + v = (x1 + x2, y1 + y2) em T(u + v) = ( (x1 + x2) + (y1 + y2), , x1 + x2 ) = (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2) , a transformação deve satisfazer:
T(u) + T(v) = (x1 + y1, x1) + (x2 + y2, x2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + x2)
Calculando cada lado:
Vemos que , então a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que, para qualquer escalar T(cu) = cT(u) e qualquer vetor cu = (c x, c y) em T(cu) = (c x + c y, c x) = c(x + y, x) = cT(u) , a transformação deve satisfazer:
Calculando cada lado:
Portanto, , e a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 4

Vamos analisar a transformação definida por . Queremos verificar se ela é linear, utilizando as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 5

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer T(x1 + x2) = (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 :
T(x1) + T(x2) = x1^2 + x2^2
Claramente, a menos que , o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.

Passo 6

Vamos examinar a transformação dada por . Nosso objetivo é verificar se ela é linear, verificando aditividade e homogeneidade.

Passo 7

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2), y1 + y2, -(x1 + x2) + 3(y1 + y2)) e = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, y1 + y2, -x1 - x2 + 3y1 + 3y2) :
T(u) + T(v) = (x1 + 2y1, y1, -x1 + 3y1) + (x2 + 2y2, y2, -x2 + 3y2)
= (x1 + 2y1 + x2 + 2y2, y1 + y2, -x1 + 3y1 - x2 + 3y2)
Observamos que , então a aditividade é satisfeita.

Passo 8

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = T(cx, cy) = (cx + 2cy, cy, -cx + 3cy) e vetor = c(x + 2y, y, -x + 3y) = cT(u) :
Portanto, , e a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Passo 9

Vamos verificar a transformação definida por . Queremos saber se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 10

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2)(y1 + y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 e T(u) + T(v) = x1y1 + x2y2 :
Claramente, a menos que , o que nem sempre é o caso. Assim, a aditividade não é satisfeita.

Passo 11

Analisamos a transformação dada por . Vamos verificar se ela é linear através das propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 12

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, 2(y1 + y2), 0) e T(u) + T(v) = (x1, 2y1, 0) + (x2, 2y2, 0) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2, 0) :
Vemos que , portanto, a aditividade é satisfeita.

Passo 13

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx, 2(cy), 0) = c(x, 2y, 0) = cT(u) e vetor :
Portanto, , e a homogeneidade é satisfeita.

Passo 14

Vamos verificar a transformação definida por . Nosso objetivo é determinar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 15

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ( (x1 + x2) - 2(y1 + y2), , z1 + z2, , x1 + x2 + y1 + y2 ) e = (x1 - 2y1 + x2 - 2y2, z1 + z2, x1 + y1 + x2 + y2) :
T(u) + T(v) = (x1 - 2y1, z1, x1 + y1) + (x2 - 2y2, z2, x2 + y2)
= (x1 - 2y1 + x2 - 2y2, z1 + z2, x1 + y1 + x2 + y2)
Vemos que , então a aditividade é satisfeita.

Passo 16

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx - 2cy, cz, cx + cy) = c(x - 2y, z, x + y) = cT(u) e vetor :
Portanto, , e a homogeneidade é satisfeita.

Passo 17

Vamos analisar a transformação definida por . Nosso objetivo é verificar se ela é linear, verificando as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 18

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 + 2, y1 + y2 + 1, z1 + z2) e T(u) + T(v) = (x1 + 2, y1 + 1, z1) + (x2 + 2, y2 + 1, z2) = (x1 + x2 + 4, y1 + y2 + 2, z1 + z2) :
Claramente, . Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.

Passo 19

Vamos verificar a transformação definida por , conhecida como transformação nula. Queremos confirmar se ela é linear, analisando aditividade e homogeneidade.

Passo 20

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = 0 :
T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0
Portanto, , satisfazendo a aditividade.

Passo 21

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = 0 e vetor cT(u) = c cdot 0 = 0 :
Assim, , satisfazendo a homogeneidade.

Passo 22

Vamos analisar o operador identidade definido por . Nosso objetivo é verificar se ele é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 23

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = u + v :
T(u) + T(v) = u + v
Logo, , satisfazendo a aditividade.

Passo 24

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = cu e vetor cT(u) = cu :
Portanto, , satisfazendo a homogeneidade.

Passo 25

Vamos verificar a transformação definida por , conhecida como reflexão em torno do eixo . Queremos saber se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 26

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, -(y1 + y2)) = (x1 + x2, -y1 - y2) e T(u) + T(v) = (x1, -y1) + (x2, -y2) = (x1 + x2, -y1 - y2) :
Logo, , satisfazendo a aditividade.

Passo 27

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = T(cx, cy) = (cx, -cy) = c(x, -y) = cT(u) e vetor :
Portanto, , satisfazendo a homogeneidade.

Passo 28

Vamos analisar a transformação definida por , conhecida como inclusão de em . Queremos verificar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 29

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer T(x1 + x2) = (x1 + x2, 0) :
T(x1) + T(x2) = (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
Assim, , satisfazendo a aditividade.

Passo 30

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cx) = (cx, 0) = c(x, 0) = cT(x) e :
Portanto, , satisfazendo a homogeneidade.

Passo 31

Vamos verificar a transformação definida por , conhecida como inclusão de em . Nosso objetivo é determinar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 32

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) e T(u) + T(v) = (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) :
Logo, , satisfazendo a aditividade.

Passo 33

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = T(cx, cy) = (cx, cy, 0) = c(x, y, 0) = cT(u) e vetor :
Portanto, , satisfazendo a homogeneidade.

Passo 34

Vamos analisar a transformação T( x y ) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x y definida pela matriz de rotação:
Queremos verificar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 35

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x1 + x2 y1 + y2 = cos theta (x1 + x2) - sin theta (y1 + y2) sin theta (x1 + x2) + cos theta (y1 + y2) e = cos theta x1 - sin theta y1 + cos theta x2 - sin theta y2 sin theta x1 + cos theta y1 + sin theta x2 + cos theta y2 :
= cos theta x1 - sin theta y1 sin theta x1 + cos theta y1 + cos theta x2 - sin theta y2 sin theta x2 + cos theta y2 = T(u) + T(v)
Portanto, , satisfazendo a aditividade.

Passo 36

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta cx cy = ccos theta x - csin theta y csin theta x + ccos theta y = c cos theta x - sin theta y sin theta x + cos theta y = cT(u) e vetor :
Portanto, , satisfazendo a homogeneidade.

Passo 37

Vamos verificar a transformação definida por , onde são constantes. Queremos saber se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 38

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = (x1 + x2 + a, y1 + y2 + b) e T(u) + T(v) = (x1 + a, y1 + b) + (x2 + a, y2 + b) = (x1 + x2 + 2a, y1 + y2 + 2b) :
Claro que porque e são adicionados duas vezes no segundo caso. Portanto, a aditividade não é satisfeita.

Passo 39

Vamos analisar a transformação definida por , conhecida como projeção ortogonal sobre o eixo . Queremos verificar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 40

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = (x1 + x2, 0) e T(u) + T(v) = (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0) :
Logo, , satisfazendo a aditividade.

Passo 41

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = (cx, 0) = c(x, 0) = cT(u) e vetor :
Portanto, , satisfazendo a homogeneidade.

Passo 42

Vamos verificar a transformação definida por , conhecida como projeção ortogonal sobre o plano . Nosso objetivo é determinar se ela é linear, checando aditividade e homogeneidade.

Passo 43

Primeiro, verificamos a aditividade. Para quaisquer vetores T(u + v) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) e T(u) + T(v) = (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) :
Logo, , satisfazendo a aditividade.

Passo 44

Agora, verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar T(cu) = (cx, cy, 0) = c(x, y, 0) = cT(u) e vetor :
Portanto, , satisfazendo a homogeneidade.

Resposta

Sim, a transformação é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

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