Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a transformação
definida por . - O que se pede: determinar a matriz canônica (ou matriz representativa na base canônica) de
.
Informações úteis que já temos do enunciado: - A regra de imagem de um vetor
é .
Passo 2
O que é a matriz canônica e como encontrá-la (explicação passo a passo e bem didática).
- A base canônica de
é composta pelos vetores ) e ). - Para uma transformação linear
, a matriz canônica relativa à base canônica é a matriz tal que, para todo vetor ,
- Regra prática (muito usada na prova): as colunas da matriz
são exatamente as imagens dos vetores da base canônica, na ordem correspondente. Ou seja, a primeira coluna é escrita em coordenadas canônicas, e a segunda coluna é .
Passo 3
Calcular
e
aplicando a regra dada.
- Aplicando a definição de
em :
- Aplicando em
:
Aqui usei explicitamente a regra
do enunciado para os vetores da base.
Passo 4
Montar a matriz cujas colunas são
e
.
- A primeira coluna será
e a segunda coluna será .
Passo 5
Verificar que essa matriz realmente reproduz
em qualquer vetor
.
- Multiplicando
pelo vetor coluna obtemos
que é exatamente
. Portanto a matriz está correta.]
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (pra você ver na prática).
- Tome
. Pela definição . - Pela multiplicação de matrizes:
Combina com o resultado acima — tá tudo certinho!]