Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
T(x, y)=(2 x, y)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por T(x,y)=(2x,y).
  • O que se pede: determinar a matriz canônica (ou matriz representativa na base canônica) de T.
    Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A regra de imagem de um vetor (x,y) é T(x,y)=(2x,y).

Passo 2

O que é a matriz canônica e como encontrá-la (explicação passo a passo e bem didática).
  • A base canônica de \mathbb{R}^2 é composta pelos vetores \(e_1=(1,0)) e \(e_2=(0,1)).
  • Para uma transformação linear T, a matriz canônica A relativa à base canônica é a matriz tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2,
T(v)=A\,v.
  • Regra prática (muito usada na prova): as colunas da matriz A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica, na ordem correspondente. Ou seja, a primeira coluna é T(e_1) escrita em coordenadas canônicas, e a segunda coluna é T(e_2).

Passo 3

Calcular T(e_1) e T(e_2) aplicando a regra dada.
  • Aplicando a definição de T em e_1=(1,0):
T(1,0)=(2\cdot 1,\,0)=(2,0).
  • Aplicando em e_2=(0,1):
T(0,1)=(2\cdot 0,\,1)=(0,1).
Aqui usei explicitamente a regra T(x,y)=(2x,y) do enunciado para os vetores da base.

Passo 4

Montar a matriz cujas colunas são T(e_1) e T(e_2).
  • A primeira coluna será (2,0)^{T} e a segunda coluna será (0,1)^{T}.
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificar que essa matriz realmente reproduz T em qualquer vetor (x,y).
  • Multiplicando A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x\\[4pt] y\end{pmatrix},
que é exatamente T(x,y). Portanto a matriz está correta.]

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (pra você ver na prática).
  • Tome (x,y)=(3,4). Pela definição T(3,4)=(2\cdot3,4)=(6,4).
  • Pela multiplicação de matrizes:
\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt] 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt] 4\end{pmatrix}.
Combina com o resultado acima — tá tudo certinho!]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}]

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