Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaços (autovetores) das seguintes matrizes:
(e) [rrr0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1
e pede (i) a equação característica, (ii) os autovalores e (iii) uma base para cada autoespaço. Vamos usar definição de determinante para obter o polinômio característico e depois resolver (A - lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Calcular o polinômio característico
chiA(lambda)=detl(A - lambda Ir) =det -lambda & 0 & 2 0 & -lambda & 0 1 & 0 & 1-lambda
Expandindo pela primeira linha,
chiA(lambda) =-lambdadet-lambda & 00 & 1-lambda +2det0 & -lambda1 & 0
Calculamos cada parte:
-lambdal(-lambda(1-lambda)r) = lambda^2(1-lambda) = lambda^2 - lambda^3,
2l(0cdot0 -(-lambda)cdot1r) =2lambda
Logo
chiA(lambda) =-lambda^3 + lambda^2 + 2lambda

Passo 3

Factorizando chiA(lambda):
chiA(lambda) =-lambdal(lambda^2 - lambda -2r) =-lambda(lambda-2)(lambda+1)
Assim os autovalores são
lambda1 = 0, lambda2 = 2, lambda3 = -1

Passo 4

Autoespaço para
Da primeira vem , sobrando livre. Logo
base do autoespaço é .

Passo 5

Autoespaço para :
resolvemos , ou
Das equações obtemos e . Assim
base do autoespaço é .

Passo 6

Autoespaço para :
resolvemos , ou
As equações dão e . Logo e
base do autoespaço é .

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda)=-lambda(lambda-2)(lambda+1)
Autovalores:
0, 2, -1
Bases dos autoespaços:
lambda=0: (0,1,0), lambda=2: (1,0,1), lambda=-1: (-2,0,1)

Exercícios relacionados