Prove que uma matriz ortogonal A de tamanho 2 times 2 é de uma das duas formas:
A=[rr cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ] ou A=[rr cos theta & sen theta sen theta & -cos theta ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz ortogonal AinR^2times2 (isto é, satisfaz A^TA=I) é necessariamente uma rotação ou uma reflexão no plano. Vamos usar o fato de que as colunas de A formam um par de vetores ortonormais em R^2 e depois parametrizar esses vetores por seno e cosseno.

Passo 2

Escrevemos
e chamamos as colunas de
Ortonormalidade dá três equações:

Passo 3

Em R^2, dado um vetor unitário v1=(a,c), os únicos vetores unitários ortogonais a ele são
pm(-c,a)
Logo v2 é ou (-c,a) ou (c,-a).

Passo 4

Para decidir qual dos dois, usamos .
  • Se , verifica-se que
  • Se , então

Passo 5

Como a^2 + c^2 = 1, existe theta tal que
a = costheta, c = sintheta
Substituindo em cada caso:
  1. Para det A=1:
A = costheta & -sintheta sintheta & costheta
  1. Para det A=-1:
A = costheta & sintheta sintheta & -costheta

Resposta

A= costheta & -sintheta sintheta & costheta ou A= costheta & sintheta sintheta & -costheta

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