Prove que uma matriz ortogonal A de tamanho
é de uma das duas formas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz ortogonal
(isto é, satisfaz
) é necessariamente uma rotação ou uma reflexão no plano. Vamos usar o fato de que as colunas de
formam um par de vetores ortonormais em
e depois parametrizar esses vetores por seno e cosseno.
Passo 2
Escrevemos
e chamamos as colunas de
Ortonormalidade dá três equações:
Passo 3
Em
, dado um vetor unitário
, os únicos vetores unitários ortogonais a ele são
Logo
é ou
ou
.
Passo 4
Para decidir qual dos dois, usamos
.
- Se
, verifica-se que - Se
, então
Passo 5
Como
, existe
tal que
Substituindo em cada caso:
- Para
:
- Para
: