Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas. Se estiver, decida se ela também está na forma escalonada reduzida por linhas.
\left[\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede para verificar se A está na forma escalonada por linhas e, em caso afirmativo, se também está na forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 2

Forma escalonada por linhas requer:
  1. Todas as linhas nulas (se existirem) ficam abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não nula aparece à direita do pivô da linha acima.
Em A:
– A última linha é nula e está embaixo.
– Na 1ª linha o pivô fica em coluna 1 (valor 2).
– Na 2ª linha o pivô fica em coluna 3 (valor 1), e 3>1.
– Na 3ª linha o pivô fica em coluna 4 (valor 3), e 4>3.
Logo, A satisfaz ambos os requisitos e está na forma escalonada por linhas.

Passo 3

Forma escalonada reduzida por linhas (RREF) requer, além dos itens acima:
  1. Cada pivô é igual a 1.
  2. Em cada coluna de pivô, todos os outros elementos são zero.
Em A:
– O pivô da 1ª linha é 2\neq1.
– O pivô da 3ª linha é 3\neq1.
– Além disso, acima do pivô da 2ª linha (coluna 3) existe o valor 3 na 1ª linha, que não é zero.
Portanto, A não satisfaz os critérios para RREF.

Resposta

A matriz está na forma escalonada por linhas, mas não está na forma escalonada reduzida por linhas.

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