Nos exercícios de 9 a 14, use operações elementares com as linhas para reduzir a matriz dada ds formas (a) escalonada por linhas e (b) escalonada reduzida por linhas.
\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}

Passo 1

O enunciado pede para usar operações elementares de linha para levar a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
(a) à forma escalonada por linhas e (b) à forma escalonada reduzida por linhas. Vamos aplicar eliminação de Gauss: primeiro obter pivôs não nulos na diagonal principal e zeros abaixo, depois — para a forma reduzida — zerar acima de cada pivô.

Passo 2

Para criar um pivô em (1,1), trocamos R_1 com R_3:
R_1 \leftrightarrow R_3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora há um 1 no canto superior esquerdo e zeros abaixo dele.

Passo 3

Na matriz acima, já temos pivô em (2,2) igual a 1 e zero abaixo, e pivô em (3,3) igual a 1. Portanto esta é a forma escalonada por linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para obter a forma reduzida, zeramos os elementos acima do pivô de (3,3). Fazemos
R_1 \leftarrow R_1 - R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 - R_3
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora zeramos o elemento acima do pivô em (2,2):
R_1 \leftarrow R_1 - R_2
e obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é a forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

(a) Forma escalonada por linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) Forma escalonada reduzida por linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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