Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas. Se estiver, indique se ela também está na forma escalonada redizida:
[cccc7 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

Resumindo o enunciado: dada a matriz
A = 7 & 0 & 1 & 0 [6pt] 0 & 1 & -1 & 4 [6pt] 0 & 0 & 0 & 0
precisamos verificar (a) se A está em forma escalonada por linhas (REF) e, em caso afirmativo, (b) se ela também está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF).
O conteúdo aqui é a definição de forma escalonada por linhas (posição dos pivôs, zeros abaixo, linhas nulas embaixo) e os requisitos adicionais para a forma escalonada reduzida (pivôs iguais a 1 e zeros acima e abaixo de cada pivô).]

Passo 2

Verificamos as condições de REF em A:
1. As linhas não nulas são as linhas 1 e 2, e a linha 3 é totalmente zero, aparecendo abaixo delas.
2. O primeiro elemento não nulo (pivô) da linha 1 é 7 em (1,1); o pivô da linha 2 é 1 em (2,2). Note que a coluna do pivô da linha 2 está estritamente à direita da coluna do pivô da linha 1.
3. Abaixo de cada pivô há apenas zeros: na coluna 1, em (2,1) e (3,1) temos zeros; na coluna 2, em (3,2) temos zero.
Como todas as propriedades de forma escalonada por linhas são satisfeitas, concluímos que A está em REF.

Passo 3

Agora, para estar em forma escalonada reduzida por linhas (RREF), além de ser REF, é preciso que:
  • Cada pivô seja igual a 1.
  • Em cada coluna de pivô, todos os outros elementos sejam zeros.
Em A, o pivô da linha 1 é 7, não 1. Portanto A não satisfaz a primeira exigência de RREF e, logo, não está em forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz está em forma escalonada por linhas, mas não está em forma escalonada reduzida por linhas.

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