Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas. Se estiver, indique se ela também está na forma escalonada redizida:
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1
e pede para verificar se ela está em forma escalonada por linhas (FE) e, em caso afirmativo, se já está também em forma escalonada reduzida (RFE). Vamos usar as definições:
– Uma matriz está em FE se toda linha nula (se houver) fica abaixo das linhas não nulas e, em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado pivô) aparece sempre mais à direita que o pivô da linha anterior.
– Está em RFE se, além de ser FE, cada pivô vale 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as linhas nulas e não nulas. Aqui ambas as linhas têm pelo menos um elemento não zero, então não há linha totalmente nula.
O pivô da primeira linha é o primeiro não zero, que é 1 na coluna 2.
O pivô da segunda linha é o primeiro não zero, que é 1 na coluna 4.
Como a linha 2 aparece abaixo da linha 1 e seu pivô (coluna 4) está mais à direita que o pivô da linha 1 (coluna 2), satisfazemos a condição de deslocamento para a FE.
Passo 3
Concluímos que A está em forma escalonada por linhas porque:
Não há linhas nulas acima de linhas não nulas.
Os pivôs avançam para a direita conforme descemos as linhas.
Passo 4
Agora, para checar se está em forma escalonada reduzida, verificamos cada coluna de pivô:
Coluna 2: o pivô em (1,2) é 1, e não há outros elementos não nulos nessa coluna (o elemento em (2,2) é 0).
Coluna 4: o pivô em (2,4) é 1, e não há outros elementos não nulos nessa coluna (o elemento em (1,4) é 0).
Portanto, cada pivô vale 1 e é o único não zero em sua coluna, cumprindo a definição de RFE.
Resposta
A matriz está em forma escalonada por linhas e também está em forma escalonada reduzida.