Seja
A=[lll 1 & 3 & 1 0 & 1 & 2 0 & 4 & 3 ]
Encontre todos os autovalores de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os autovalores da matriz A . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Um autovalor lambda de uma matriz A satisfaz a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A . Nosso objetivo é encontrar os valores de lambda que fazem o determinante dessa matriz igual a zero.

Passo 3

Vamos começar calculando a matriz A - lambda I . A matriz identidade I para uma matriz 3x3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então, lambda I será:
lambda I = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda
Subtraindo lambda I de A :
A - lambda I = 1 - lambda & 3 & 1 0 & 1 - lambda & 2 0 & 4 & 3 - lambda

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(3 - lambda) + 3 cdot 2 cdot 0 + 1 cdot 4 cdot 0 - 1 cdot (1 - lambda) cdot 0 - 3 cdot 4 cdot (3 - lambda) - (1 - lambda) cdot 2 cdot 0
Simplificando os termos:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(3 - lambda) - 3 cdot 4 cdot (3 - lambda)

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos (1 - lambda)(1 - lambda) = (1 - lambda)^2 = 1 - 2lambda + lambda^2 .
Então, temos:
(1 - 2lambda + lambda^2)(3 - lambda) - 12(3 - lambda)
Distribuindo 3 - lambda :
3(1 - 2lambda + lambda^2) - lambda(1 - 2lambda + lambda^2) - 36 + 12lambda
Calculando cada termo:
3 - 6lambda + 3lambda^2 - lambda + 2lambda^2 - lambda^3 - 36 + 12lambda
Agora, somando os termos semelhantes:
- lambda^3 + 5lambda^2 + 5lambda - 33

Passo 6

Agora, temos o polinômio característico:
- lambda^3 + 5lambda^2 + 5lambda - 33 = 0
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por -1:
lambda^3 - 5lambda^2 - 5lambda + 33 = 0
Precisamos resolver essa equação para encontrar os valores de lambda .

Passo 7

Vamos tentar encontrar as soluções desse polinômio. Podemos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes possíveis são os divisores do termo constante dividido pelos divisores do coeficiente líder.
Aqui, os divisores de 33 são pm1, pm3, pm11, pm33 . Vamos testar lambda = 3 :
3^3 - 5(3)^2 - 5(3) + 33 = 27 - 45 - 15 + 33 = 0
Então, lambda = 3 é uma raiz.

Passo 8

Agora que sabemos que lambda = 3 é uma raiz, podemos dividir o polinômio por (lambda - 3) para fatorar:
Usando divisão polinomial ou a regra de Ruffini, obtemos:
lambda^3 - 5lambda^2 - 5lambda + 33 = (lambda - 3)(lambda^2 - 2lambda - 11)
Agora, precisamos resolver lambda^2 - 2lambda - 11 = 0 .

Passo 9

Resolvemos a equação quadrática lambda^2 - 2lambda - 11 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-11)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 442 = 2 pm raiz482 = 2 pm 4raiz32 = 1 pm 2raiz3

Resposta

Os autovalores de A são lambda = 3 , lambda = 1 + 2raiz3 e lambda = 1 - 2raiz3 .

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