Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(cccc1 & 0 & 5 & -3 0 & 1 & 4 & 2 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE) e, se estiver, também está na forma escalonada reduzida (FER). Para isso, vamos lembrar o que define cada uma dessas formas e analisar a matriz passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma escalonada por linhas (FE). Uma matriz está na forma FE se satisfaz três condições principais:
  1. Pivôs à direita: O primeiro número não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  2. Zeros abaixo dos pivôs: Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros.
  3. Linhas nulas na parte de baixo: Se houver linhas somente com zeros, elas ficam no final da matriz.
Vamos verificar essas condições na matriz dada.

Passo 3

Olhemos a matriz:
1 & 0 & 5 & -3 0 & 1 & 4 & 2 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0
  1. Primeira linha: O pivô é 1 na primeira coluna.
  2. Segunda linha: O pivô é 1 na segunda coluna, que está à direita do pivô da primeira linha.
  3. Terceira linha: O pivô é 1 na quarta coluna, que está à direita do pivô da segunda linha.
  4. Quarta linha: É uma linha nula, fica no final.
Além disso, abaixo de cada pivô, só temos zeros. Portanto, a matriz atende todas as condições da forma escalonada por linhas (FE).

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz está na forma FE, vamos verificar se ela também está na forma escalonada reduzida por linhas (FER). Para estar na FER, a matriz precisa satisfazer mais duas condições:
  1. Pivôs iguais a 1: Todos os pivôs devem ser 1.
  2. Zeros acima dos pivôs: Além de zeros abaixo dos pivôs, também deve haver zeros acima deles.
Vamos conferir se a matriz atende a essas condições.

Passo 5

Analisando os pivôs:
  1. Primeira linha: Pivô é 1. Bom!
  2. Segunda linha: Pivô é 1. Beleza.
  3. Terceira linha: Pivô é 1. Tudo certo.
Agora, vamos ver se há zeros acima dos pivôs:
  • Pivô da segunda linha (coluna 2): Acima dele, na primeira linha, o elemento é 0. Ok.
  • Pivô da terceira linha (coluna 4): Acima dele, na segunda linha, o elemento é 2; na primeira linha, é -3. Isso não é zero.
Como há elementos diferentes de zero acima do pivô na terceira linha, a matriz não está na forma escalonada reduzida por linhas (FER).

Resposta

A matriz está na forma escalonada por linhas (FE), mas não está na forma escalonada reduzida por linhas (FER).

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