Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas, onde todos os pivôs sejam 1.
(cccc0 & -1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 & 5 1 & 3 & -1 & 2 3 & 2 & 4 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A questão pede para a gente usar operações elementares de linha para transformar a seguinte matriz:
0 & -1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 & 5 1 & 3 & -1 & 2 3 & 2 & 4 & 1
em duas formas diferentes:
  1. Matriz escalonada por linhas, onde cada linha começa com um 1 (chamado de pivô).
  2. Matriz escalonada reduzida por linhas, onde além de ser escalonada, todos os elementos acima e abaixo dos pivôs também são zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar operações elementares de linha, que são:
  • Trocar duas linhas.
  • Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero.
  • Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.

Passo 2

Primeiro, vamos começar transformando a matriz em uma forma escalonada por linhas. A ideia é ter pivôs (1s) na diagonal principal e zeros abaixo deles.
Observamos que na primeira coluna, o primeiro elemento é 0, o que não é ideal para começar. Então, vamos trocar a primeira linha com uma linha que tenha um número diferente de zero na primeira coluna. Vamos trocar a primeira linha com a segunda linha.

Passo 3

Após trocar a primeira e a segunda linha, a matriz fica assim:
2 & 3 & 4 & 5 0 & -1 & 2 & 3 1 & 3 & -1 & 2 3 & 2 & 4 & 1
Agora, queremos que o primeiro elemento da primeira linha seja 1 para facilitar os cálculos. Para isso, vamos dividir toda a primeira linha por 2.

Passo 4

Dividindo a primeira linha por 2:
1 & 32 & 2 & 52 0 & -1 & 2 & 3 1 & 3 & -1 & 2 3 & 2 & 4 & 1
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna, ou seja, tornar os elementos da primeira coluna das outras linhas iguais a zero.

Passo 5

Para eliminar o 1 na terceira linha, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha1
1 & 32 & 2 & 52 0 & -1 & 2 & 3 0 & 32 & -3 & -12 3 & 2 & 4 & 1
Para eliminar o 3 na quarta linha, subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 3 * Linha1
1 & 32 & 2 & 52 0 & -1 & 2 & 3 0 & 32 & -3 & -12 0 & -72 & -2 & -132

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Nosso próximo pivô está na posição (2,2), que atualmente é -1. Vamos transformar esse elemento em 1 dividindo toda a segunda linha por -1.

Passo 7

Dividindo a segunda linha por -1:
1 & 32 & 2 & 52 0 & 1 & -2 & -3 0 & 32 & -3 & -12 0 & -72 & -2 & -132
Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna.

Passo 8

Para eliminar o 32 na primeira linha, vamos subtrair 32 vezes a segunda linha da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 32 * Linha2
1 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & -2 & -3 0 & 32 & -3 & -12 0 & -72 & -2 & -132
Para eliminar o 32 na terceira linha, subtraímos 32 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 32 * Linha2
1 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & 0 & 4 0 & -72 & -2 & -132
Para eliminar o -72 na quarta linha, adicionamos 72 vezes a segunda linha à quarta linha:
Linha4 = Linha4 + 72 * Linha2
1 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & -9 & -312

Passo 9

Agora, vamos para a terceira coluna. Infelizmente, o elemento na posição (3,3) é zero, então precisamos trocar a terceira linha com a quarta linha para ter um pivô diferente de zero na terceira coluna.

Passo 10

Trocando a terceira e a quarta linha:
1 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & -9 & -312 0 & 0 & 0 & 4
Agora, vamos transformar o elemento -9 em 1 dividindo a terceira linha por -9:
Linha3 = Linha3 / (-9)
1 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & 1 & 3118 0 & 0 & 0 & 4

Passo 11

Por fim, vamos transformar o elemento 4 na quarta linha em 1 dividindo a quarta linha por 4:
Linha4 = Linha4 / 4
1 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & 1 & 3118 0 & 0 & 0 & 1
Agora, conseguimos a forma escalonada por linhas com todos os pivôs iguais a 1.

Resposta

A forma escalonada por linhas da matriz é:
1 & 0 & 5 & 5 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & 1 & 3118 0 & 0 & 0 & 1
Para obter a forma escalonada reduzida por linhas, continuaríamos eliminando os elementos acima dos pivôs, mas conforme solicitado, chegamos à forma escalonada por linhas com pivôs iguais a 1.

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