Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 1 \\\\ -5 & -3 & -5 \\\\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b .
A 3^{\text {a }} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{c}4 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & -3 & 1 \\[4pt] -5 & -3 & -5 \\[4pt] 1 & 3 & 1\end{pmatrix}
e afirma que existe P inversível tal que
A = P \begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & a & 0 \\[4pt] 0 & 0 & b\end{pmatrix} P^{-1}
com a<b. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: as colunas de P são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovalores -3, a e b.]

Passo 2

Para achar os autovalores de A, calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = -\lambda(\lambda^2 + \lambda - 6) = -\lambda(\lambda - 2)(\lambda + 3).
Logo, os autovalores são \lambda = -3, \lambda = 0 e \lambda = 2.

Passo 3

Como a<b, e já sabemos um autovalor -3, restam 0 e 2. Em ordem crescente fica -3<a=0<b=2. Assim, a terceira coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor b=2.

Passo 4

Para encontrar esse autovetor, resolvemos
(A - 2I)v = 0,
ou seja
\begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 \\[4pt] -5 & -5 & -5 \\[4pt] 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
]

Passo 5

Das equações obtemos
-x - 3y + z = 0, \quad x + y + z = 0, \quad x + 3y - z = 0.
Dessas, conclui-se z=y e x=-2y, de modo que
v = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para que a primeira componente valha 4, basta escolher y=-2, obtendo
v = \begin{pmatrix}4\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix}.
Entre as opções, somente (B) tem a forma \bigl[4\;\;\star\;\;-2\bigr]^{T}.

Resposta

(B)

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