Determine todos os autovalores \lambda \in \mathbb{R} com seus correspondentes subespaços associados (autoespaçõs) V_{\lambda}.
T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) onde T\left(a+b x+c x^{2}\right)=(-a+b+c)+(a-b+c) x+(a+b-c) x^{2}

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathcal{P}_2(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_2(\mathbb{R})
por
T\bigl(a + b x + c x^2\bigr) = (-a + b + c) \;+\;(a - b + c)\,x\;+\;(a + b - c)\,x^2.
Queremos encontrar todos os autovalores \lambda\in\mathbb{R} e, para cada um, o correspondente autoespaço V_\lambda. O conteúdo principal é cálculo de autovalores e autovetores (autopolinômios) de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Escolhemos a base padrão \{1,x,x^2\}. Calculamos as imagens:
T(1)= -1 + 1\,x + 1\,x^2,\quad T(x)= 1 -1\,x + 1\,x^2,\quad T(x^2)=1 +1\,x -1\,x^2.
Logo a matriz de T nessa base é
M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\ \phantom{-}1 & -1 & 1\\\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -1 \end{pmatrix}.
Observação útil: a matriz J cujos todos os elementos são 1 satisfaz M = J - 2I_3.

Passo 3

Sabendo que a matriz J de posto 1 tem autovalores 3 (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade 2), segue que os autovalores de
M = J - 2I_3
são
\lambda_1 = 3 - 2 = 1 \quad\text{(mult.\\\ 1)}, \qquad \lambda_2 = 0 - 2 = -2 \quad\text{(mult.\\\ 2)}.

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (M - I)v=0. Como M = J - 2I, temos M - I = J - 3I, e
(J - 3I)\,v = 0 \;\Longrightarrow\; J\,v = 3\,v.
O único autovetor de J associado ao valor 3 é proporcional a (1,1,1), isto é, ao polinômio
1 + x + x^2.
Logo
V_{1} = \operatorname{span}\{\,1 + x + x^2\}.

Passo 5

Para \lambda=-2 resolvemos (M + 2I)v=0. Como M + 2I = J, obtemos
J\,v = 0 \;\Longrightarrow\; a + b + c = 0 \quad\text{para }v=(a,b,c)^T.
Isto dá um espaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3, ou seja
V_{-2} = \{\,a + b x + c x^2 : a + b + c = 0\}.
Por exemplo, uma base conveniente é \{\,x-1,\;x^2-1\}.

Resposta

Autovalores e autoespaços de T:
(a) \lambda = 1,
V_{1} = \operatorname{span}\{\,1 + x + x^2\}.
(b) \lambda = -2,
V_{-2} = \{\,a + b x + c x^2 : a + b + c = 0\} = \operatorname{span}\{\,x - 1,\;x^2 - 1\}.

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