Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\\\ 0 & -1 & 3 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico e o polinômio minimal da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 3\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo necessário é cálculo de determinante para encontrar \det(\lambda I - A) e, em seguida, usar o fato de que o polinômio minimal tem exatamente os fatores (\lambda-\lambda_i) para cada autovalor \lambda_i.

Passo 2

Escrevemos a matriz \lambda I - A e montamos o determinante:
\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & 0 & 1\\\\ 0 & \lambda+1 & -3\\\\ 1 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix},
então
\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)\det\begin{pmatrix}\lambda+1 & -3\\[6pt]0 & \lambda-1\end{pmatrix} -0 +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & \lambda+1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos os menores:
\det\begin{pmatrix}\lambda+1 & -3\\[4pt]0 & \lambda-1\end{pmatrix} = (\lambda+1)(\lambda-1), \quad \det\begin{pmatrix}0 & \lambda+1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = -(\lambda+1).
Substituindo:
\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)\bigl((\lambda+1)(\lambda-1)\bigr) + \bigl(-(\lambda+1)\bigr) = (\lambda-1)^2(\lambda+1) -(\lambda+1).
Fatorando (\lambda+1):
\det(\lambda I - A) = (\lambda+1)\bigl((\lambda-1)^2 - 1\bigr) = (\lambda+1)(\lambda^2 -2\lambda +1 -1) = (\lambda+1)(\lambda^2 -2\lambda) = \lambda(\lambda+1)(\lambda-2).]

Passo 4

Portanto, o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(\lambda I - A)=\lambda(\lambda-2)(\lambda+1).
Os autovalores são \lambda=0, \lambda=2 e \lambda=-1, todos com multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Como os autovalores são todos distintos, o polinômio minimal deve ter exatamente os mesmos fatores lineares de p(\lambda). Logo,
m(\lambda)=\lambda(\lambda-2)(\lambda+1).

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda(\lambda-2)(\lambda+1),
e o polinômio minimal é
m(\lambda)=\lambda(\lambda-2)(\lambda+1).

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