Determine se a matriz está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 5 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
e pede para determinar se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar as definições:
– Uma matriz está em forma escalonada se
\quad(i) todas as linhas nulas vêm abaixo das não-nulas;
\quad(ii) o pivô (primeiro elemento não-zero) de cada linha não-nula está à direita do pivô da linha acima;
\quad(iii) abaixo de cada pivô só há zeros.
– Está em forma escalonada reduzida se, além de estar em forma escalonada, cada pivô é 1 e é o único elemento não-zero em sua coluna.
Passo 2
Verificando a forma escalonada em A:
(i) As linhas não-nulas são as duas primeiras e a linha nula está embaixo — OK.
(ii) O pivô da primeira linha está na coluna 1 e o da segunda linha está na coluna 2, ou seja, o da segunda está à direita do da primeira — OK.
(iii) Abaixo de cada pivô (posição (1,1) e (2,2)) aparecem zeros — OK.
Logo, A satisfaz todas as condições de forma escalonada.
Passo 3
Verificando a forma escalonada reduzida em A:
Embora cada pivô seja igual a 1, a coluna do pivô de posição (2,2) não é “limpa”: ela tem o valor 5 em (1,2). Para ser reduzida, todos os outros elementos na coluna de um pivô deveriam ser zero. Aqui isso não ocorre, então Anão está em forma escalonada reduzida.
Resposta
A matriz está em forma escalonada, mas não em forma escalonada reduzida.