Resolva o sistema usando a eliminação Gauss com substituição regressiva ou eliminação de Gauss-Jordan:
\begin{aligned} 3 x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =5 \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =4\end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 3x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5,\\\\ 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4, \end{cases}
e pede para usar eliminação de Gauss (com substituição regressiva ou Gauss–Jordan). Aqui temos duas equações e três incógnitas, logo esperamos uma família infinita de soluções, com um parâmetro livre.

Passo 2

Escrevemos o sistema de forma a eliminar x_{1} da segunda equação. Uma estratégia é multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3, ficando
\begin{aligned} 6x_{1}+2x_{2}-4x_{3}&=10,\\\\ 6x_{1}+6x_{2}+3x_{3}&=12. \end{aligned}
Agora subtraímos a primeira linha da segunda para anular x_{1}:
(6x_{1}+6x_{2}+3x_{3})-(6x_{1}+2x_{2}-4x_{3})=12-10 \;\Longrightarrow\; 4x_{2}+7x_{3}=2.

Passo 3

Da equação obtida
4x_{2}+7x_{3}=2
isolamos x_{2} em função de x_{3}:
x_{2}=\frac{2-7x_{3}}{4}.

Passo 4

Agora voltamos à primeira equação original,
3x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5,
e substituímos x_{2}=\frac{2-7x_{3}}{4}:
3x_{1}+\frac{2-7x_{3}}{4}-2x_{3}=5.
Multiplicando tudo por 4 para evitar frações:
12x_{1}+2-7x_{3}-8x_{3}=20 \;\Longrightarrow\; 12x_{1}-15x_{3}=18 \;\Longrightarrow\; x_{1}=\frac{18+15x_{3}}{12} =\frac{3}{2}+\frac{5}{4}\,x_{3}.

Passo 5

Chamamos x_{3}=t (parâmetro livre em \mathbb{R}). Assim
\begin{cases} x_{1}=\displaystyle\frac{3}{2}+\frac{5}{4}\,t,\\[6pt] x_{2}=\displaystyle\frac{2-7t}{4}=\frac{1}{2}-\frac{7}{4}\,t,\\[4pt] x_{3}=t. \end{cases}]

Resposta

A solução geral do sistema é
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) =\Bigl(\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{4}t,\;\tfrac{1}{2}-\tfrac{7}{4}t,\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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