Determine uma matriz fundamental para cada sistema
, onde:
Passo 1
Primeiro, temos o sistema linear
com
O conteúdo é de sistemas lineares de coeficientes constantes e queremos encontrar uma matriz fundamental
, cujas colunas são duas soluções linearmente independentes de
.
Passo 2
Vamos calcular os autovalores de
. O polinômio característico é
logo
. Como os autovalores são imaginários puros, esperamos soluções oscilatórias (funções seno e cosseno).
Passo 3
Em vez de construir soluções complexas, usamos a exponencial de matriz:
Observamos que
então potências pares de
geram
e potências ímpares geram
. Separando a soma em termos pares e ímpares, obtemos
Passo 4
Substituindo
em
, chega-se a
que é de fato uma matriz fundamental (as colunas são soluções independentes e
).
Resposta
A matriz fundamental pode ser escolhida como