Determine uma matriz fundamental para cada sistema X^prime=A X, onde:
A=(cc 0 & 2 -2 & 0 )

Passo 1

Primeiro, temos o sistema linear X'=AX com
A=0 & 2-2 & 0
O conteúdo é de sistemas lineares de coeficientes constantes e queremos encontrar uma matriz fundamental Phi(t), cujas colunas são duas soluções linearmente independentes de X'=AX.

Passo 2

Vamos calcular os autovalores de A. O polinômio característico é
det(A-lambda I)=det-lambda & 2-2 & -lambda=lambda^2+4=0,
logo lambda=pm2,i. Como os autovalores são imaginários puros, esperamos soluções oscilatórias (funções seno e cosseno).

Passo 3

Em vez de construir soluções complexas, usamos a exponencial de matriz:
e^At=sumk=0^infty(At)^kk!
Observamos que
A^2=-4I,
então potências pares de A geram I e potências ímpares geram A. Separando a soma em termos pares e ímpares, obtemos
e^At=Icos(2t)+A2sin(2t)

Passo 4

Substituindo A em e^At=Icos(2t)+tfrac A2sin(2t), chega-se a
Phi(t)=e^At=cos(2t) & sin(2t)-sin(2t) & cos(2t),
que é de fato uma matriz fundamental (as colunas são soluções independentes e Phi'(t)=APhi(t)).

Resposta

A matriz fundamental pode ser escolhida como
Phi(t)= cos(2t) & sin(2t) -sin(2t) & cos(2t)

Exercícios relacionados