Resolva as equações matriciais:
\left[\begin{array}{cc}\cos a & \sin a \\\\ -\sin a & \cos a\end{array}\right] \cdot X=\left[\begin{array}{c}\cos (2 a) \\\ \sin (2 a)\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
\begin{pmatrix} \cos a & \sin a\\\\ -\sin a & \cos a \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} \cos(2a)\\\ \sin(2a) \end{pmatrix}.
Essa matriz é a matriz de rotação de ângulo a. Para encontrar X, precisamos inverter essa matriz.

Passo 2

Como se trata de uma matriz de rotação, ela é ortogonal, logo seu inverso é sua transposta:
\begin{pmatrix} \cos a & \sin a\\\\ -\sin a & \cos a \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \cos a & -\sin a\\\ \sin a & \cos a \end{pmatrix}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pela transposta, obtemos
X = \begin{pmatrix} \cos a & -\sin a\\\ \sin a & \cos a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(2a)\\\ \sin(2a) \end{pmatrix}.

Passo 4

Fazendo o produto de matrizes:
a primeira componente de X é
\cos a\cos(2a)\;-\;\sin a\sin(2a) =\cos(3a),
e a segunda componente é
\sin a\cos(2a)\;+\;\cos a\sin(2a) =\sin(3a).

Resposta

X = \begin{pmatrix} \cos(3a)\\\ \sin(3a) \end{pmatrix}.

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