Determine a matriz inversa de cada matriz abaixo:
D=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}
Este é um caso de matriz triangular inferior com todos os pivôs iguais a 1. Para invertê-la, vamos usar substituição direta: resolver D\,X = I coluna a coluna, onde I é a identidade 3\times3.

Passo 2

Seja
X = \bigl[x_1\;x_2\;x_3\bigr]
onde cada x_j é a j-ésima coluna de X. Devemos resolver
D\,x_j = e_j,
sendo e_j o vetor canônico cujo único elemento não nulo é 1 na posição j.

Passo 3

Resolver D\,x_1 = e_1\). Escrevendo \(x_1=(x_{11},x_{21},x_{31})^T\) e \(e_1=(1,0,0)^T\), temos o sistema \[\begin{cases} 1\cdot x_{11} = 1,\\\\ 2\cdot x_{11} + 1\cdot x_{21} = 0,\\\\ 3\cdot x_{11} + 3\cdot x_{21} + 1\cdot x_{31} = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_{11}=1\]. Substituindo na segunda: \(2\cdot1 + x_{21}=0 x_{21}=-2. Na terceira: 3\cdot1 +3\cdot(-2)+x_{31}=0 leva a x_{31}=3. Logo
x_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Resolver D\,x_2 = e_2\). Com \(x_2=(x_{12},x_{22},x_{32})^T\) e \(e_2=(0,1,0)^T\), o sistema é \[\begin{cases} x_{12} = 0,\\\\ 2x_{12} + x_{22} = 1,\\\\ 3x_{12} + 3x_{22} + x_{32} = 0. \end{cases}
Da primeira equação x_{12}=0\]. Da segunda \(x_{22}=1. Da terceira 3\cdot0+3\cdot1+x_{32}=0 x_{32}=-3. Então
x_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 5

Resolver D\,x_3 = e_3\). Com \(x_3=(x_{13},x_{23},x_{33})^T\) e \(e_3=(0,0,1)^T\), obtemos \[\begin{cases} x_{13} = 0,\\\\ 2x_{13} + x_{23} = 0,\\\\ 3x_{13} + 3x_{23} + x_{33} = 1. \end{cases}
Da primeira equação x_{13}=0\]. Da segunda \(x_{23}=0. Da terceira x_{33}=1. Então
x_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Agrupando as colunas x_1,x_2,x_3, concluímos que
D^{-1} = X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}.

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