Resolva, via escalonamento, os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}3 x+5 y+3 z=26 \\\ x-7 y+z=-16 \\\\ 5 x-y+3 z=14\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 3x+5y+3z=26,\\\ x-7y+z=-16,\\\\ 5x-y+3z=14.
O conteúdo aqui é método de escalonamento (eliminação de Gauss): montamos a matriz aumentada, aplicamos operações elementares para torná-la triangular e depois fazemos substituições para encontrar x, y e z.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada correspondente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & 3 & 26\\\\ 1 & -7 & 1 & -16\\\\ 5 & -1 & 3 & 14 \end{array}\right].

Passo 3

Para evitar frações desde o início, trocamos a linha 1 com a linha 2, de modo a usar o pivô igual a 1:
L_1\leftrightarrow L_2 \quad\longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -7 & 1 & -16\\\\ 3 & 5 & 3 & 26\\\\ 5 & -1 & 3 & 14 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminamos x de L_2 e L_3 usando L_1:
- L_2\leftarrow L_2-3\,L_1
- L_3\leftarrow L_3-5\,L_1
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -7 & 1 & -16\\\\ 0 & 26 & 0 & 74\\\\ 0 & 34 & -2 & 94 \end{array}\right].

Passo 5

Agora temos um sistema equivalente triangular:
\begin{cases} x-7y+z=-16,\\\\ 26y=74,\\\\ 34y-2z=94. \end{cases}
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 2:
13y=37.

Passo 6

Da segunda equação segue
y=\frac{37}{13}.

Passo 7

Substituímos y na terceira equação. Primeiro simplificamos 34y-2z=94 dividindo por 2:
17y - z =47.
Então
17\cdot\frac{37}{13}-z=47 \quad\Longrightarrow\quad \frac{629}{13}-z=47 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{18}{13}.

Passo 8

Finalmente substituímos y e z na primeira equação x-7y+z=-16:
x-7\cdot\frac{37}{13}+\frac{18}{13}=-16 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{33}{13}.

Resposta

(x,y,z)=\Bigl(\tfrac{33}{13},\;\tfrac{37}{13},\;\tfrac{18}{13}\Bigr).

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