(1,0 pt) Determine a matriz inversa da matriz \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O método escolhido é o de Gauss–Jordan, aplicando operações elementares na matriz aumentada [A\mid I] até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna:
R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1},
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 & -3 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Agora o pivô é o elemento -2 em (2,2). Primeiro normalizamos
R_{2}\leftarrow -\tfrac12\,R_{2} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac32 & -\tfrac12 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].
Em seguida eliminamos a coluna 2 em R_{1} e R_{3}:
R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2},
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac32 & -\tfrac12 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & -\tfrac12 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

O último pivô é \tfrac12 em (3,3). Dividimos
R_{3}\leftarrow 2\,R_{3} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac32 & -\tfrac12 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 2 \end{array}\right]
e então eliminamos a coluna 3 em R_{1} e R_{2}:
R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac12\,R_{3},\quad R_{2}\leftarrow R_{2}+\tfrac12\,R_{3},
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1& -1 & 2 \end{array}\right].

Resposta

A matriz inversa é
A^{-1} \;=\; \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ -1& -1 & 2 \end{pmatrix}.

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