(2,0) Usando o processo de Gram-Schmidt, ortogonalize a base \{u, v, w\} onde u= (1,1,0), v=(1,0,1) e w=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para obter uma base ortogonal a partir da base \{u,v,w\} em \mathbb{R}^3 usando o processo de Gram–Schmidt. O conteúdo que vamos usar é o produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^3 e a fórmula de projeção
\mathrm{proj}_{a}(b)=\frac{\langle b,a\rangle}{\langle a,a\rangle}\,a,
onde \langle x,y\rangle é o produto escalar de x e y.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor da base ortogonal como
a_{1}=u=(1,1,0).
Não há projeção aqui pois é o primeiro vetor do processo.

Passo 3

Para encontrar a_{2}, projetamos v sobre a_{1} e subtraímos:
\langle v,a_{1}\rangle=1\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=1,\quad \langle a_{1},a_{1}\rangle=1^2+1^2+0^2=2,
\mathrm{proj}_{a_{1}}(v)=\frac{1}{2}\,a_{1}=\bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr),
a_{2}=v-\mathrm{proj}_{a_{1}}(v) =\bigl(1,0,1\bigr)-\bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr) =\bigl(\tfrac12,-\tfrac12,1\bigr).

Passo 4

Agora calculamos a_{3} subtraindo de w as projeções em a_{1} e em a_{2}:
Primeiro, sobre a_{1}:
\langle w,a_{1}\rangle=0\cdot1+1\cdot1+1\cdot0=1,\quad \mathrm{proj}_{a_{1}}(w)=\frac{1}{2}\,a_{1}=\bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr).
Depois, sobre a_{2}:
\langle w,a_{2}\rangle =0\cdot\tfrac12+1\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)+1\cdot1 =-\tfrac12+1=\tfrac12,
\langle a_{2},a_{2}\rangle =\bigl(\tfrac12\bigr)^2+\bigl(-\tfrac12\bigr)^2+1^2 =\tfrac14+\tfrac14+1=\tfrac32,
\mathrm{proj}_{a_{2}}(w) =\frac{\tfrac12}{\tfrac32}\,a_{2} =\tfrac{1}{3}\,a_{2} =\bigl(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3}\bigr).
Portanto
a_{3} =w-\mathrm{proj}_{a_{1}}(w)-\mathrm{proj}_{a_{2}}(w) =\bigl(0,1,1\bigr)-\bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr) -\bigl(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3}\bigr) =\bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr).

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
a_{1}=(1,1,0),\quad a_{2}=\bigl(\tfrac12,-\tfrac12,1\bigr),\quad a_{3}=\bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr).

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