(1,5 \mathrm{pt}) Escalone e resolva o sistema de equaçöes lineares abaixo
\left\{\begin{array}{c} x+2 y+z=9 \\\\ 2 x+y-z=3 \\\\ 3 x-y-2 z=-4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para escalonar e resolver o sistema
\begin{cases} x + 2y + z = 9,\\\\ 2x + y - z = 3,\\\\ 3x - y - 2z = -4. \end{cases}
O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente eliminação de Gauss (ou escalonamento) para sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada correspondente:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\\\ 2 & 1 & -1 & 3\\\\ 3 & -1 & -2 & -4 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna. Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Isso leva a
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\\\ 0 & -3 & -3 & -15\\\\ 0 & -7 & -5 & -31 \end{array}\right).

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (na coluna 2). Primeiro, para simplificar, dividimos a linha 2 por -3:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_2 \;\Longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\\\ 0 & 1 & 1 & 5\\\\ 0 & -7 & -5 & -31 \end{array}\right).
Em seguida, eliminamos o -7 na linha 3:
R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2 \;\Longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\\\ 0 & 1 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right).

Passo 5

O pivô da terceira linha está na coluna 3 e vale 2. Logo,
2z = 4 \quad\Longrightarrow\quad z = 2.

Passo 6

Substituímos z=2 na segunda equação escalonada y + z = 5:
y + 2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad y = 3.

Passo 7

Finalmente, substituímos y=3 e z=2 na primeira equação original x + 2y + z = 9:
x + 2\cdot 3 + 2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x + 6 + 2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

(x,y,z) = (1,\,3,\,2).

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