(1,5 \mathrm{pt}) Considere as bases \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\} e \beta_{2}=\{(-3,-1),(-1,3)\} para \mathbb{R}^{2}. Encontre a matriz de mudança da base \beta_{1} para a base \beta_{2}.
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base de \beta_{1} para \beta_{2}, onde \beta_{1}=\{v_{1}=(-1,1),\,v_{2}=(1,1)\} e \beta_{2}=\{w_{1}=(-3,-1),\,w_{2}=(-1,3)\}.
Para construir essa matriz P usamos o fato de que, para todo vetor x, vale
[x]_{\beta_{2}} \;=\; P\,[x]_{\beta_{1}}.
Assim, as colunas de P são justamente as coordenadas de v_{1} e v_{2} na base \beta_{2}.
Passo 2
Para achar a primeira coluna de P\), escrevemos
\[v_{1}=(-1,1)=a\,w_{1}+b\,w_{2}
ou seja
(-1,1)=a(-3,-1)+b(-1,3)=(-3a-b,\,-a+3b).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -3a - b = -1,\\\\ -a + 3b = 1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação b=1-3a\]. Substituindo na segunda,
\[-a+3(1-3a)=1 \quad\Longrightarrow\quad -\,a+3-9a=1 \quad\Longrightarrow\quad -10a= -2 \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac1{5},\]
logo \(b=1-3\cdot\tfrac1{5}=\tfrac{2}{5}.
Portanto a primeira coluna de P é