(1,5 \mathrm{pt}) Considere as bases \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\} e \beta_{2}=\{(-3,-1),(-1,3)\} para \mathbb{R}^{2}. Encontre a matriz de mudança da base \beta_{1} para a base \beta_{2}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de \beta_{1} para \beta_{2}, onde
\beta_{1}=\{v_{1}=(-1,1),\,v_{2}=(1,1)\} e
\beta_{2}=\{w_{1}=(-3,-1),\,w_{2}=(-1,3)\}.
Para construir essa matriz P usamos o fato de que, para todo vetor x, vale
[x]_{\beta_{2}} \;=\; P\,[x]_{\beta_{1}}.
Assim, as colunas de P são justamente as coordenadas de v_{1} e v_{2} na base \beta_{2}.

Passo 2

Para achar a primeira coluna de P\), escrevemos \[v_{1}=(-1,1)=a\,w_{1}+b\,w_{2}
ou seja
(-1,1)=a(-3,-1)+b(-1,3)=(-3a-b,\,-a+3b).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -3a - b = -1,\\\\ -a + 3b = 1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação b=1-3a\]. Substituindo na segunda, \[-a+3(1-3a)=1 \quad\Longrightarrow\quad -\,a+3-9a=1 \quad\Longrightarrow\quad -10a= -2 \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac1{5},\] logo \(b=1-3\cdot\tfrac1{5}=\tfrac{2}{5}.
Portanto a primeira coluna de P é
\begin{pmatrix} \tfrac{1}{5}\\[6pt]\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para a segunda coluna, escrevemos
v_{2}=(1,1)=c\,w_{1}+d\,w_{2}
ou seja
(1,1)=c(-3,-1)+d(-1,3)=(-3c-d,\,-c+3d),
que dá o sistema
\begin{cases} -3c - d = 1,\\\\ -\,c + 3d = 1. \end{cases}
Da primeira equação d=-1-3c. Substituindo na segunda,
-\,c+3(-1-3c)=1 \quad\Longrightarrow\quad -\,c-3-9c=1 \quad\Longrightarrow\quad -10c=4 \quad\Longrightarrow\quad c=-\tfrac{2}{5},
logo d=-1-3\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr)=\tfrac{1}{5}.
Assim a segunda coluna de P é
\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5}\\[6pt]\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Juntando ambas as colunas, obtemos
P = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[6pt] \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix} = \tfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

P_{\beta_{1}\to\beta_{2}} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados