(1,0 \mathrm{pt}) Calcule a n-ésima potència da matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a n-'esima pot^encia da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & a \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
O conte’udo que vamos usar 'e a expans~ao binomial para matrizes do tipo I+N, onde N `e nilpotente.

Passo 2

Escrevemos
A = I + N,
com
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad N = A - I = \begin{pmatrix}0 & a \\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Note que
N^2 = \begin{pmatrix}0 & a \\\ 0 & 0\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\ 0 & 0\end{pmatrix},
ou seja, N^2=0.

Passo 3

Pela fórmula binomial para matrizes, temos
A^n = (I+N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} N^k.
Como N^2=0, todos os termos com k\ge2 desaparecem, restando apenas
A^n = \binom{n}{0}N^0 + \binom{n}{1}N = I + n\,N.

Passo 4

Substituindo N em I + n\,N, obtemos
A^n = I + n\,\begin{pmatrix}0 & a \\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & n\,a \\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & n\,a \\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

A^n = \begin{pmatrix}1 & n\,a \\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

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