Seja V=M2 times 2(R) e considere a base canônica deste espaço descrita por
C=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
Seja S: V R^2 é descrita por
T(ll a & b c & d )=(a+d, b+c)
(i) Encontre [T]C2^C, onde C2 é a base canônica do espaço R^2.
(ii) Se S: R^2 V é tal que [S]C^C2=(rr2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1), determine S explicitamente e, se possível, (a, b) tal que S(a, b)=(ll1 & 0 0 & 1).

Passo 1

O espaço é o conjunto das matrizes reais, com base canônica
onde
O espaço de chegada é com base canônica . A transformação linear
pede, em (i), a matriz , isto é, as coordenadas de em .

Passo 2

Calcular T em cada vetor da base C:
T(E11)=(1+0,;0+0)=(1,0)=1,e1+0,e2,
T(E12)=(0+0,;1+0)=(0,1)=0,e1+1,e2,
T(E21)=(0+0,;0+1)=(0,1)=0,e1+1,e2,
T(E22)=(0+1,;0+0)=(1,0)=1,e1+0,e2.

Passo 3

As colunas de [T]C2^C são justamente esses coeficientes, logo
[T]C2^C = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0

Passo 4

Para (ii), a matriz de S:R^2to V dada em bases C2 (domínio) e C (imagem) é
[S]C^C2 = 2 & 1 1 & -1 -1& 0 0 & 1
Isso significa que
S(1,0)=2,E11+1,E12-1,E21+0,E22 =2&1-1&0,
S(0,1)=1,E11-1,E12+0,E21+1,E22 =1&-10&1
Por linearidade, para (a,b)inR^2
S(a,b) =a,S(1,0)+b,S(0,1) =2a+b & a-b -a & b

Passo 5

Queremos S(a,b)=1&00&1. Isso impõe o sistema
2a+b=1, a-b=0, -a=0, b=1
Mas de -a=0 vem a=0, e de a-b=0 vem b=0, contradizendo 2a+b=1. Logo não há solução (a,b) que produza a matriz identidade.

Resposta

(i)
[T]C2^C = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0
(ii)
S(a,b) =2a+b & a-b -a & b,
e não existe (a,b) tal que S(a,b)=1&00&1.

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