No exercício anterior, exclua e/ou acrescente (se necessário) vetores de modo que os conjuntos tornem-se base dos respectivos espaços vetoriais.
F=(2,-5),(-4,10) base de R^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
F = (2,-5),,(-4,10)
é base de R^2, isto é, se seus vetores são linearmente independentes e geram todo R^2. Para isso vamos testar independência e, caso falhe, remover vetor(es) redundante(s) e acrescentar vetor(es) de forma a obter um conjunto de dois vetores independentes em R^2.

Passo 2

Testamos se existe lambdainR tal que
(-4,10) = lambda,(2,-5)
Da primeira componente vem -4 = 2lambdaRightarrow lambda=-2. Da segunda vem 10 = -5lambdaRightarrow lambda=-2. Como a mesma lambda satisfaz ambas, os vetores são colineares e, portanto, linearmente dependentes. Logo, F não é base de R^2.

Passo 3

Para obter uma base de R^2 precisamos de dois vetores independentes. Como (-4,10) é múltiplo de (2,-5), podemos remover um dos dois. Vamos manter (2,-5) e excluir (-4,10).

Passo 4

Falta então um segundo vetor que não seja colinear a (2,-5). Podemos escolher, por exemplo,
v = (1,0),
pois claramente não existe mu tal que (1,0)=mu,(2,-5). Assim definimos
B = (2,-5),,(1,0)

Passo 5

Verificamos agora que
então das componentes obtemos o sistema
da segunda equação vem . Logo só a solução trivial existe.
  1. Geração: dados , seja e . Então

Resposta

Uma base obtida a partir de F é
(2,-5),,(1,0)

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