Selecione convenientemente três desses vetores de R^3 para que componham uma base para o conjunto R^3. Utilize o método visto em aula sobre base para espaço coluna.
  • v1=(1,3,-2)
  • v3=(1,0,1)
  • v5=(2,3,2)
  • v2=(2,6-4)
  • v4=(2,3,-1)
  • v6=(3,9,2)

Passo 1

O enunciado pede para escolher três vetores dentre
v1=(1,3,-2),
v2=(2,6,-4),
v3=(1,0,1),
v4=(2,3,-1),
v5=(2,3,2),
v6=(3,9,2)
que formem uma base de R^3. O conteúdo é teoria de base via espaço coluna, ou seja, montamos a matriz com esses vetores como colunas e aplicamos eliminação de Gauss para achar as colunas-pivô.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v1,dots,v6:
A = 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 3 3 & 6 & 0 & 3 & 3 & 9 -2 & -4 & 1 & -1 & 2 & 2

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss em A. Primeiro
R2 R2-3,R1
e
R3 R3+2,R1,
depois
R3 R3+R2. O resultado escalonado é
1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 3 0 & 0 & -3 & -3 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 8

Passo 4

Os pivôs aparecem nas colunas 1, 3 e 5. Logo, as colunas-pivô da matriz original são v1, v3 e v5.

Passo 5

Como há três pivôs em R^3, os vetores v1,v3,v5 são linearmente independentes e geram todo R^3. Portanto formam uma base.

Resposta

A base escolhida é
v1,,v3,,v5 =(1,3,-2),,(1,0,1),,(2,3,2)

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