Determine a matriz de F em relação às bases beta=1, t, t^2, t^3 e beta^prime=1, de P3(R) e R, respectivamente.
F(g(t))=integral0^1 g(t) d t

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Fcolon P3(R) to R, Fl(g(t)r)=integral0^1g(t),dt
e pede a matriz de F na base beta=1,t,t^2,t^3 do domínio e na base beta'=1 do contradomínio. Para isso, basta calcular F em cada vetor de beta e expressar o resultado em beta'.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base beta:
F(1)=integral0^11,dt=1, F(t)=integral0^1t,dt=tfrac12, F(t^2)=integral0^1t^2,dt=tfrac13, F(t^3)=integral0^1t^3,dt=tfrac14

Passo 3

Como a base do contradomínio é beta'=1, cada escalar acima já é a coordenada de F(1), F(t), F(t^2) e F(t^3) nessa base. Esses valores formam as colunas da matriz de F.

Resposta

[F]beta^beta' = 1 & tfrac12 & tfrac13 & tfrac14

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