Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[cc1 & 2 0 & 1]. Ache os vetores u, v tais que
T(u)=u;

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:R^2toR^2 cuja matriz em relação à base canônica é
[T]=1 & 2[6pt]0 & 1
Como det(T-I)=0 com valor próprio lambda=1 de multiplicidade algébrica 2, vamos achar um vetor próprio u tal que
T(u)=u,
e em seguida um vetor generalizado v satisfazendo
(T-I)(v)=u,
ou seja
T(v)=v+u
]

Passo 2

Para achar u resolvemos (T-I)u=0. A matriz T-I é
T-I=1-1 & 2[3pt]0 & 1-1 =0 & 2[3pt]0 & 0
Se u=(u1,u2), a equação (T-I)u=0
0cdot u1 + 2,u2 = 0 Longrightarrow u2=0,
sem restrição em u1. Podemos então escolher
u=(1,0),
que gera o espaço próprio span(1,0).
]

Passo 3

Agora queremos v=(v1,v2) tal que (T-I)v=u. Escrevendo
0 & 2[3pt]0 & 0 v1[3pt]v2 = 1[3pt]0,
vemos que a única equação não-trivial é
0cdot v1 + 2,v2 = 1 Longrightarrow v2 = tfrac12,
e v1 fica livre. Para simplificar, tomamos v1=0, logo
v=(0,tfrac12)
]

Passo 4

Verificamos que, de fato,
T(v) =1 & 2[3pt]0 & 1 0[3pt]tfrac12 =1[3pt]tfrac12 =0[3pt]tfrac12 +1[3pt]0 =v + u
Isso mostra que (T-I)v=u, ou seja, v é vetor generalizado de ordem 2.
]

Resposta

u=(1,0) e v=l(0,tfrac12r). Esses vetores formam uma cadeia de Jordan para T, com
T(u)=u, T(v)=v+u

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