Sejam U e V R-espaços vetoriais não-nulos e seja T: U V uma transformação linear.
Se tivermos T sobrejetora, dim U=5 e dim Nuc T=1, qual a dimensão de V?

Passo 1

O enunciado considera espaços vetoriais reais U e V não nulos, uma transformação linear sobrejetora Tcolon Uto V com dim U=5 e dimker T=1. O conteúdo usado aqui é o Teorema Núcleo–Imagem (ou Teorema da Dimensão).

Passo 2

Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
dim U ;=;dimker T;+;dimImT

Passo 3

Como T é sobrejetora, ImT=V, portanto
dimImT=dim V

Passo 4

Substituindo dim U=5 e dimker T=1 na fórmula do passo 2, obtemos
5 = 1 + dim V Longrightarrow dim V = 5 - 1 = 4

Resposta

dim V = 4

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