Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[cc1 & 2 0 & 1]. Ache os vetores u, v tais que
T(v)=v.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^2toR^2
cuja matriz em base canônica é
[T]=1 & 20 & 1
Precisamos encontrar vetores u e v tais que T(v)=v. Isso significa achar o autovalor lambda=1 e os respectivos autovetores.

Passo 2

Determinamos o polinômio característico de T resolvendo
detl([T]-lambda Ir) =det1-lambda & 20 & 1-lambda =(1-lambda)^2=0
Logo o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para achar os autovetores associados a resolvemos
Isso impõe , ou seja , enquanto é livre.

Passo 4

Portanto o espaço próprio para lambda=1 é
E1=l(x,0)mid xinRr
Escolhemos, por exemplo,
v=(1,0),
pois satisfaz claramente T(v)=v.

Passo 5

Para completar uma base de R^2, basta tomar qualquer vetor fora de E1. Uma escolha simples é
u=(0,1)
Note que u e v são linearmente independentes e formam base.

Resposta

você pode tomar
v=(1,0), u=(0,1),
onde T(v)=v.

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