Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas das transformações lineares abaixo. Determine o núcleo e descreva-os geometricamente.
4. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(z-x, z-2 x, z-3 x).
7) Determine a matriz da transformação linear T: R^3 R^3, com T(x, y, z)=(x+2 y, 2 x+y+z, y-z), considerando:

Passo 1

O enunciado fornece duas transformações lineares T4 e T7 em R^3, e pede em cada caso:
– a matriz de T na base canônica e1,e2,e3;
– o núcleo ker(T) e sua descrição geométrica.
Para a matriz, basta calcular T(ei) para i=1,2,3. Para o núcleo, resolvemos o sistema T(x,y,z)=(0,0,0).

Passo 2

Matriz de T4colonR^3toR^3 com
T4(x,y,z)=(,z-x,;z-2x,;z-3x,)
Aplicando nos vetores canônicos:
T4(e1)=T4(1,0,0)=(-1,-2,-3), T4(e2)=T4(0,1,0)=(0,0,0), T4(e3)=T4(0,0,1)=(1,1,1)
Logo a matriz é
Mat(T4) = -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 1 -3 & 0 & 1

Passo 3

Núcleo de
Subtraindo a primeira da segunda dá e fica livre. Assim
Geometricamente é o eixo em .

Passo 4

Matriz de T7colonR^3toR^3 com
T7(x,y,z)=(,x+2y,;2x+y+z,;y-z,)
Aplicando nos canônicos:
T7(e1)=T7(1,0,0)=(1,2,0), T7(e2)=T7(0,1,0)=(2,1,1), T7(e3)=T7(0,0,1)=(0,1,-1)
Logo
Mat(T7) = 1 & 2 & 0 2 & 1 & 1 0 & 1 & -1

Passo 5

Núcleo de
Da terceira equação . Na primeira: . Logo .
subespaço trivial (nenhuma direção não-nula).

Resposta

Para T4:
Mat(T4) = -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 1 -3 & 0 & 1 , ker(T4)=(0,y,0)mid yinR;(eixo (y))
Para T7:
Mat(T7) = 1 & 2 & 0 2 & 1 & 1 0 & 1 & -1 , ker(T7)=(0,0,0);(subespaço trivial) ç

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