elimina os termos lineares da equação de Q. Determine (h, k) e escreva a equação de Q em função de X, Y.
(b) A partir da equação obtida, realize uma rotação ortogonal em torno da origem para eliminar o termo misto X Y. Apresente a nova equação da cônica após a rotação.
(c) Determine a equação reduzida da cônica, identificando seu tipo (elipse, hipérbole ou parábola) e descrevendo sua posição no plano.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
Q:\;4x^{2}-4xy+7y^{2}-12x+6y-9=0
e pede (a) a translação que elimina os termos lineares, (b) a rotação que elimina o termo misto e (c) a forma reduzida final, identificando o tipo da cônica. Vamos usar teoria de conicas em coordenadas: para achar o centro resolvemos o sistema das derivadas parciais e, depois da translação, aplicamos rotação de ângulo \theta tal que zere o coeficiente de XY.
Passo 2
Para achar o ponto (h,k) tal que, em \displaystyle x=X+h,\;y=Y+k,
não haja termos em X nem em Y, usamos as condições