(3 pontos) Considere a cônica dada pela equação:
Q: \quad 4 x^{2}-4 x y+7 y^{2}-12 x+6 y-9=0 .
(a) Mostre que existe um único ponto (h, k) tal que a translação
\left\{\begin{array}{l} X=x-h \\\ Y=y-k \end{array}\right.
elimina os termos lineares da equação de Q. Determine (h, k) e escreva a equação de Q em função de X, Y.
(b) A partir da equação obtida, realize uma rotação ortogonal em torno da origem para eliminar o termo misto X Y. Apresente a nova equação da cônica após a rotação.
(c) Determine a equação reduzida da cônica, identificando seu tipo (elipse, hipérbole ou parábola) e descrevendo sua posição no plano.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
Q:\;4x^{2}-4xy+7y^{2}-12x+6y-9=0
e pede (a) a translação que elimina os termos lineares, (b) a rotação que elimina o termo misto e (c) a forma reduzida final, identificando o tipo da cônica. Vamos usar teoria de conicas em coordenadas: para achar o centro resolvemos o sistema das derivadas parciais e, depois da translação, aplicamos rotação de ângulo \theta tal que zere o coeficiente de XY.

Passo 2

Para achar o ponto (h,k) tal que, em \displaystyle x=X+h,\;y=Y+k,
não haja termos em X nem em Y, usamos as condições
\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}-4xy+7y^{2}-12x+6y-9)\Big|_{(h,k)}=0,
\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}-4xy+7y^{2}-12x+6y-9)\Big|_{(h,k)}=0.
Calculando as derivadas:
8x-4y-12=0,\quad -4x+14y+6=0.
Em (h,k) isso dá o sistema
8h-4k-12=0,
-4h+14k+6=0.
Resolvendo, obtemos
k=0,\quad h=\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Fazendo x=X+\tfrac{3}{2}, y=Y e substituindo em Q, expande-se e simplifica-se para obter
4X^{2}-4XY+7Y^{2}-18=0,
ou seja
4X^{2}-4XY+7Y^{2}=18.

Passo 4

Agora queremos eliminar o termo misto XY por rotação
X = X'\cos\theta - Y'\sin\theta,\quad Y = X'\sin\theta + Y'\cos\theta.
O ângulo \theta satisfaz
\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}
para A=4, B=-4, C=7. Logo
\tan(2\theta)=\frac{-4}{4-7}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3},
de onde
\cos(2\theta)=\frac{3}{5},\quad \sin(2\theta)=\frac{4}{5},
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt5},\quad \sin\theta=\frac{1}{\sqrt5}.

Passo 5

Usando fórmulas de invariantes de rotação, os coeficientes na nova base são
A'=\tfrac{A+C}{2}+\tfrac{A-C}{2}\cos(2\theta)+\tfrac{B}{2}\sin(2\theta)=3,
C'=\tfrac{A+C}{2}-\tfrac{A-C}{2}\cos(2\theta)-\tfrac{B}{2}\sin(2\theta)=8,
e o termo misto zera. Assim a equação vira
3{X'}^{2}+8{Y'}^{2}=18.

Passo 6

Por fim, dividindo ambos os lados por 18, obtemos a forma canônica
\frac{{X'}^{2}}{6}+\frac{{Y'}^{2}}{\tfrac{9}{4}}=1,
ou seja
\frac{{X'}^{2}}{6}+\frac{{Y'}^{2}}{9/4}=1.
Como há duas parcelas quadráticas positivas, trata-se de uma elipse.

Resposta

(a) Centro \bigl(h,k\bigr)=\bigl(\tfrac32,0\bigr). Em X=x-\tfrac32,\;Y=y a equação fica
4X^{2}-4XY+7Y^{2}=18.
(b) Com \theta tal que \tan(2\theta)=4/3, ou seja \cos\theta=2/\sqrt5, \sin\theta=1/\sqrt5, obtemos
3{X'}^{2}+8{Y'}^{2}=18.
(c) Forma reduzida
\frac{{X'}^{2}}{6}+\frac{{Y'}^{2}}{9/4}=1,
é uma elipse de semieixos \sqrt6 e 3/2, centrada em \bigl(\tfrac32,0\bigr) e girada de \theta=\tfrac12\arctan\!\tfrac{4}{3}.

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